Relazione tra durezza del riconoscimento di una classe di grafi e caratterizzazione proibita dei sottografi

Sto prendendo in considerazione classi di grafici che possono essere caratterizzate da sottografi proibiti.

Se una classe di grafi ha una serie finita di sottografi proibiti, allora c'è un banale algoritmo di riconoscimento del tempo polinomiale (si può semplicemente usare la forza bruta). Ma una famiglia infinita di sottografi proibiti non implica durezza: ci sono alcune classi con un elenco infinito di sottografi proibiti in modo tale che il riconoscimento possa essere testato anche in tempo polinomiale. I grafici cordale e perfetto sono esempi ma, in quei casi, esiste una struttura "piacevole" sulla famiglia proibita.

Esiste un rapporto noto tra la durezza del riconoscimento di una classe e il "cattivo comportamento" della famiglia proibita? Tale relazione dovrebbe esistere? Questo "cattivo comportamento" è stato formalizzato da qualche parte?

cc.complexity-theory graph-theory np-hardness

— Vinicius dos Santos
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Risposte:

Anche se sembra intuitivo che l'elenco dei sottografi proibiti (indotti) per una classe di grafici che abbia un riconoscimento NP-hard abbia una complessità "intrinseca", recentemente ho trovato alcune evidenti prove negative di questa intuizione in letteratura. $\mathscr{C}$

Forse il più semplice da descrivere è il seguente, tratto da un articolo di B. Lévêque, D. Lin, F. Maffray e N. Trotignon .

Sia la famiglia di grafici che sono composti da un ciclo di lunghezza di almeno quattro, più tre vertici: due adiacenti allo stesso vertice del ciclo e uno adiacente a un vertice del ciclo, dove e sono non consecutivo nel ciclo (e nessun altro spigolo). $F$ $u$ $v$ $u$ $v$

Ora lascia che sia la famiglia di grafici composti esattamente allo stesso modo, tranne per il fatto che aggiungi quattro vertici: due adiacenti allo stesso vertice del ciclo (come prima), ma ora due adiacenti allo stesso vertice del ciclo, dove nuovamente e non sono consecutivi. $F'$ $u$ $v$ $u$ $v$

Quindi la classe di grafici che ha come sottografi indotti proibiti ha il riconoscimento del tempo polinomiale, mentre il riconoscimento della classe che ha come sottogravi indotti proibiti è NP-difficile. $F$ $F'$

Pertanto, trovo difficile concepire qualsiasi condizione generale che un elenco di sottografi indotti proibiti deve soddisfare quando si traduce in una classe con riconoscimento (NP-) difficile, considerando che tale condizione dovrà separare il "molto simile" e sopra. $F$ $F'$

— Hugo Nobrega
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Bella risposta - è abbastanza delicato.

— Suresh Venkat,

Interessante. C'è qualche possibilità che ciò abbia a che fare con l'espressività della logica richiesta per descrivere il modello? Sto pensando a qualcosa di simile ai linguaggi formali in cui la complessità di una lingua può essere caratterizzata in modo equivalente dal modo in cui è definita (regexp, grammatica formale ...) o dalla macchina richiesta per riconoscerla (automa, pushdown ...) o l'espressività della logica richiesta per scrivere una formula che caratterizza le parole della lingua (MSO per le lingue normali, per esempio).

— a3nm,

È un'idea interessante, ma ancora una volta non posso fare a meno di pensare che

siano così vicini che è difficile immaginare un modo per "separarli" in quel modo (diciamo che

è descrivibile in un linguaggio che

non è ). Potrei anche essere troppo negativo ..! Devo ammettere "intuizione" qui, quindi sarei felice di essere smentito.

F

$F$

F^{'}

$F'$

F

$F$

F^{'}

$F'$

— Hugo Nobrega,

@Hugo: una differenza tangibile tra loro è la simmetria nella caratterizzazione di

- non c'è intrinsecamente alcun mezzo per distinguere tra i vertici

. Cosa succede se si considera la famiglia

di cicli di lunghezza di almeno quattro, più due vertici aggiuntivi, adiacente a verbi non consecutivi nel ciclo? Ripristinare la simmetria nella direzione "altra" (rimuovendo un vert da

anziché aggiungerne uno) rende di nuovo difficile?

F^{'}

$F'$

u

$u$

v

$v$

F_{0}

$F_0$

F

$F$

— Steven Stadnicki,

@Steven: suppongo di no, si possono rilevare i grafici in

indovinando casualmente 8 nodi, formando entrambi i lati del grafico ed eseguendo un algoritmo tre in un albero su tre nodi, come quello in Teorema 3.1. Ciò fornisce un algoritmo a tempo polinomiale per rilevare

F_{0}

$F_0$

F_{0}

$F_0$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

La risposta di @Hugo è davvero carina, e qui voglio aggiungere alcune opinioni personali.

Esistono famiglie correlate simili ai grafici della famiglia F e F '. I grafici della famiglia B1 nell'articolo sono generalmente chiamati piramidi. E i grafici della famiglia B2 sono generalmente chiamati prismi. Vedi la risposta qui per un'illustrazione. Nella letteratura sui problemi di rilevamento dei sottografi indotti, sono stati utilizzati per rilevare fori pari / dispari, che sono cicli senza accordi con lunghezza pari / dispari. Secondo il celebre teorema del grafico forte perfetto, un grafico G è perfetto se sia G che il complemento di G non contengono fori dispari.

Per le famiglie di piramidi e prismi, in effetti ci sono differenze tra loro: una ha una sottostruttura indotta di tre foglie e l'altra no. Questo è chiamato il problema del "tre in un albero" , che è stato studiato da Chudnovsky e Seymour. È sorprendente che determinare se esiste un albero indotto che contiene tre nodi dati sia trattabile, mentre il problema "albero a quattro punte" è NP-difficile . (Un albero centrato è un albero con al massimo un nodo con grado maggiore di 2.) Le differenze tra F e F 'sembrano essere causate dallo stesso motivo.

Ma sembra che una caratterizzazione completa sia ancora difficile, perché non conosciamo nemmeno la complessità del rilevamento di grafici in alcune famiglie che sembra abbastanza semplice, come i grafici senza buche strane (!). E per le famiglie che conosciamo esiste un algoritmo a tempo polinomiale, come grafici perfetti e grafici senza buche pari, anche se ci sono strategie generali (basate su decomposizioni) per progettare un algoritmo, è necessario fornire un teorema strutturale specifico per loro. Questo di solito è un processo dipendente dalla famiglia e il più delle volte le prove sono davvero lunghe. ( Ecco un esempio per il grafico senza buchi pari, in cui il foglio ha più di 90 pagine.)

Sarebbe comunque interessante avere alcune classificazioni per i problemi di rilevamento dei sottografi indotti, nel senso del problema dei tre alberi.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
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