Paradigmi per l'analisi della complessità degli algoritmi

L'analisi dei casi peggiori e dei casi medi sono misure ben note per la complessità di un algoritmo. L'analisi recentemente lisciata è emersa come un altro paradigma per spiegare perché alcuni algoritmi che sono esponenziali nel caso peggiore funzionano così bene nella pratica, ad esempio l'algoritmo simplex.

La mia domanda è: ci sono altri paradigmi per misurare la complessità di un algoritmo? Sono particolarmente interessato a quelli che tentano di spiegare perché alcuni algoritmi che presentano una complessità nel peggiore dei casi funzionano bene nella pratica.

Esistono anche varianti naturali dell'analisi del caso peggiore che sono utili. Forse il più famoso è la complessità parametrizzata. Qui, consideriamo una misura "bidimensionale": la solita lunghezza di input$n$ e alcuni numeri interi non negativi aggiuntivi $k$, il parametro. Anche se un algoritmo può funzionare in modo orribile nel peggiore dei casi (per tutti i valori di$n$ e $k$), potrebbe essere che tutti i casi nella propria applicazione che devono essere risolti, questo parametro $k$ sembra essere basso, quindi l'algoritmo funziona bene su quelle istanze.

Ad esempio, supponiamo di voler risolvere il set indipendente massimo su una classe di grafici e sviluppare un algoritmo interessante che è sorprendentemente veloce. Esaminando ulteriormente la classe dei grafici stessi, scopri che tutti i grafici esaminati hanno la larghezza degli alberi al massimo$10$. Bene, Bodlaender (cfr. Neidermeier [1]) ha mostrato che quando la larghezza dell'albero è k, Max Independent Set è un parametro fisso trattabile : può essere risolto in$O(2^k (|E|+|V|))$tempo. Questo dà alcune spiegazioni sul perché il tuo algoritmo funziona bene.

[1] R. Niedermeier, Invito a algoritmi a parametri fissi. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, Oxford University Press, Oxford, 2006.

C'è una complessità ammortizzata - perché alcune operazioni possono essere costose nel peggiore dei casi, ma se si considerano molte operazioni, il costo medio per operazione è buono.

Un esempio classico è una struttura di dati che si svuota quando è piena copiando tutti i suoi elementi in un archivio. L'operazione di copia può essere costosa, ma non accade spesso: è necessario inserire elementi sufficienti nella struttura dei dati per provocarla.