Complessità di Kolmogorov con linguaggi di descrizione deboli

Possiamo pensare alla complessità di Kolmogorov di una stringa $x$ come la lunghezza del programma più breve $P$ e inserire $y$ tale che $x = P(y)$ . Di solito questi programmi sono tratti da un set completo di Turing (come $P$ potrebbe essere la descrizione di una macchina di Turing, oppure potrebbe essere un programma in LISP o C). Anche quando guardiamo alla complessità di Kolmogorov limitata dalle risorse, guardiamo ancora alle macchine Turing ma con alcuni limiti sul loro tempo di esecuzione o utilizzo dello spazio. Una delle conseguenze di ciò è che la complessità di una stringa è indecidibile. Sembra una caratteristica imbarazzante.

Cosa succede se usiamo modelli completi di calcolo non Turing per definire la complessità di Kolmogorov?

Se scegliamo un modello abbastanza restrittivo (diciamo che il nostro modello può solo implementare l'identità), allora la complessità di una stringa diventa decidibile, anche se perdiamo anche il teorema di invarianza. È possibile avere un modello abbastanza forte da avere una complessità uguale (fino a uno scostamento costante, o anche un fattore moltiplicativo) al modello completo di Turing, ma abbastanza debole da consentire la decidibilità della complessità di una stringa? Esiste un nome standard per la complessità di Kolmogorov con modelli completi di calcolo non Turing? Dove posso leggere di più al riguardo?

$D(s)$$K(s)$$f(n)$$K(s) > f(D(s))$

$D(s)$$s_n$$f(D(s_n))> \mathrm{vff}(n)$$\mathrm{vff}$$\exp(\exp(\exp(n)))$

$K(s_n) > \mathrm{vff}(n)$$s(n)$$n$$n$$s(n)$$K(s_n)$$n$$\log(n)$$K(s_n)$

$f$$s$$K(s) \not> f(D(s))$

L'incomprensibilità del KC generale è una conseguenza dell'indecidibilità dell'arresto del problema rispetto alla classe di macchine utilizzate per KC. Se siamo in grado di decidere il problema di arresto sulla classe delle macchine, allora possiamo calcolare il KC di una data stringa in base a loro. Basta eseguire tutte le coppie macchina e input che si fermano al primo che genera , quindi selezionare il più corto.$x$