Quali gerarchie e / o teoremi della gerarchia conosci?

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Attualmente sto scrivendo un sondaggio sui teoremi della gerarchia su TCS. Alla ricerca di articoli correlati, ho notato che la gerarchia è un concetto fondamentale non solo in TCS e matematica, ma in numerose scienze, dalla teologia e sociologia alla biologia e chimica. Visto che la quantità di informazioni è vasta, spero di poter chiedere aiuto a questa community. Certo, non voglio che tu faccia una ricerca bibliografica per me, ma piuttosto sto chiedendo due tipi di informazioni:

Gerarchie e teoremi di gerarchia che sono il risultato del tuo lavoro o del lavoro dei tuoi colleghi o di altre persone con cui hai familiarità e pensi che non siano così conosciuti. Questo potrebbe essere ad esempio un teorema della gerarchia per un oscuro modello di calcolo a cui sei interessato o una gerarchia di classi specifiche, ad esempio correlate alla teoria dei giochi.
Gerarchie e teoremi di gerarchia che ritieni assolutamente necessari per essere inclusi in un sondaggio di questo tipo. Questo probabilmente mi sarebbe già noto, ma sarebbe utile vedere quali gerarchie consideri più importanti e perché. Questo potrebbe essere quello del tipo "Ritengo molto importante perché senza di esso non saremmo in grado di fare questo tipo di ricerca" o "Anche se non così noto, nel TCS basato sulla logica utilizziamo costantemente questa gerarchia e ritengo è uno strumento importante ". . E sì, credo che le persone dalla logica abbiano molte gerarchie da menzionare, tuttavia tieni presente che stiamo parlando di gerarchie di problemi. $PH$

Terrò un elenco aggiornato qui:

$DTIME$ Gerarchia
$NTIME$ Gerarchia
$SPACE$ Gerarchia dello
Gerarchia aritmetica (nota anche come Kleene)
Gerarchia iperaritmetica
Gerarchia analitica
Gerarchia di Chomsky
Gerarchia di Grzegorczyk e relativi: gerarchia di Wainer (in rapida crescita), gerarchia di Hardy
(in lenta crescita) e gerarchia di Veblen
Gerarchia di Ritchie
Gerarchia di Axt (come definito in Axt63 )
The Loop Hierarchy (definito in MR67 )
$NC$ Gerarchia ( , ) $AC$ $ACC$
La gerarchia di profondità, come definita in Sipser83
Polynomial Hierarchy ( ) e la gerarchia di Meyer-Stockmeyer meno raffinata (nessuna distinzione tra quantificatori) $PH$
Gerarchia esponenziale ( ) $ELEMENTARY$
$NP$ -Gerarchia intermedia (teorema di Ladner)
Il non così robusto (Arthur-Merlin) $AM$
La gerarchia (non deterministica a parametro fisso) e la gerarchia W alternata correlata (gerarchia ) e la gerarchia (W con profondità dipendente dal parametro) $W$ $AW$ $W^{*}$
Conteggio della gerarchia
Gerarchia di Fourier
Gerarchia booleana (su ), uguale anche alla Gerarchia di query (su ) $NP$ $NP$
Gerarchie per test di proprietà, come visto in GoldreichKNR09
La gerarchia approfondita delle lingue regolari senza stelle
$BP_{d}(P)$ : le classi risolvibili dai programmi di ramificazione di dimensioni polinomiali, con la condizione aggiuntiva che ogni bit dell'input sia testato al massimo d volte, formano una gerarchia per valori diversi di $d$
La gerarchia temporale per la complessità del circuito
La gerarchia polinomiale nella complessità della comunicazione

Nota: se non si desidera essere menzionati esclusivamente, si prega di dirlo. Come regola generale, menzionerò sia la comunità che la persona specifica che porta alla luce nuove informazioni.

— 82%
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Assomiglia molto a una domanda Wiki della community. Devo convertirlo?

— Dave Clarke,

Il teorema di Ladner può essere generalizzato per ottenere infinite gerarchie tra le altre classi (ammesso che sono diversi) come tra P e P ^ # P .

— Tyson Williams,

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Potresti anche menzionare teoremi "anti-gerarchia", cioè teoremi della dicotomia. I teoremi della dicotomia potrebbero probabilmente ottenere un intero sondaggio tra loro, ma probabilmente dovrebbero almeno essere menzionati insieme a qualcosa come il Teorema di Ladner.

— Joshua Grochow,

1

Stai chiedendo solo delle gerarchie di classi di problemi? C'è anche il concetto di "gerarchia dei test", vedi ad esempio arxiv.org/abs/quant-ph/0308032 .

— Alessandro Cosentino,

1

Sì, vengono considerate solo le gerarchie di classi di complessità. Anche limitatamente a quelli, ci sono molti in cui raccogliere informazioni.

— Chazisop,

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La Gerarchia di Fourier come definita in " Yaoyun Shi, compromessi quantistici e classici ".

Dallo zoo della complessità :

$\mathsf{FH}_k$ è la classe di problemi risolvibili da una famiglia uniforme di circuiti quantici di dimensioni polinomiali, conlivelli $k$ di porte Hadamard e tutte le altre porte che conservano la base computazionale.

$\mathsf{FH}_0 = \mathsf{P}$

$\mathsf{FH}_1 = \mathsf{BPP}$

$\mathsf{FH}_2$ contiene factoring a causadell'algoritmo di stima di fasediKitaev.

È un problema aperto mostrare che la gerarchia di Fourier è infinita rispetto a un oracolo (cioè $\mathsf{FH}_k$ è strettamente contenuto in $\mathsf{FH}_{k+1}$ ).

— Robin Kothari
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- Sulla falsariga di "anti-gerarchie", vale la pena menzionare il teorema del gap di Borodin .

Teorema. Per ogni funzione calcolabile totale tale che , esiste un totale calcolabile tale che . $f : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ $f(n) = \Omega(n)$ $g : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ ${\sf TIME}[g(n)] = {\sf TIME}[f(g(n))]$

Ciò contraddirebbe il teorema della gerarchia del tempo, tranne per il fatto che non è costruibile nel tempo (in effetti è per questo che dobbiamo avere ipotesi di costruibilità nelle dichiarazioni della maggior parte delle gerarchie di complessità). $g$

- Esistono anche interessanti rafforzamenti delle solite gerarchie temporali, come:

T I M E [n^{k}] ⊈ i . o . - T I M E [n^{k - 1}] / (n - \log n)

${\sf TIME}[n^k] \not\subseteq i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

(ci sono problemi nel tempo non può essere risolto con successo da qualsiasi tempo macchina del tempo usando bit di consiglio, anche per un numero infinito di lunghezze di input). La prova è semplice: lasciamo che elenchi le macchine del tempo che prendano consigli come secondo input. Definisci che divide in dove, esegue e genera la risposta opposta. Quindi . $n^k$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $\{M_i\}$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $M'(x)$ $x$ $x=yz$ $|z|=\log |x|$ $M_z(x,y)$ $L(M') \notin i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

- La mancanza di gerarchie temporali note in determinate situazioni dovrebbe essere considerata (come problemi aperti). Ad esempio, ? ${\sf BPTIME}[n] = {\sf BPP}$

— Ryan Williams
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2

È ? altrimenti l'affermazione non è interessante: basta scegliere .

T I M E [g (n)] = T I M E [f (g (n))]

$\mathsf{TIME}[g(n)] = \mathsf{TIME}[f(g(n))]$

g (n) = n

$g(n) = n$

— Sasho Nikolov,

@Sasho, sembra così. Lo afferma il teorema del gap di Borodin (tramite il link).

— Daniel Apon,

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Lo zoo di complessità ti dà alcune gerarchie . Tra questi, la Gerarchia di conteggio e la Gerarchia booleana non erano già citate.

[EDIT] Per rendere la mia risposta più istruttiva, una rapida definizione della Gerarchia di conteggio.

${\sf C_0P} = {\sf P}$
${\sf C_1P} = {\sf PP}$
${\sf C_{k+1}P} = {\sf PP^{C_kP}}$

Quindi, come per la gerarchia polinomiale, viene definito come . $\sf CH$ $\bigcup_k {\sf C_kP}$

La gerarchia di conteggio è stata definita da Wagner [Wag86]. Collegamenti alla teoria dei circuiti di soglia sono stati scoperti da Allender & Wagner [AW93]. Molto più recentemente, Bürgisser [Bür09] ha anche usato la gerarchia di conteggio per mettere in relazione il modello di Valiant con la congettura di Shub e Smale. In particolare, ha dimostrato che la congettura implica un limite inferiore superpolinomiale per il permanente. $\tau$ $\tau$

[Wag86] KW Wagner. La complessità dei problemi combinatori con la rappresentazione concisa dell'input . Acta Mathematica 23 (3), 325-356, 1986.
[AW93] E. Allender e KW Wagner. Gerarchie di conteggio: tempo polinomiale e circuiti a profondità costante . Tendenze attuali in Informatica , 469-483, 1993.
[Bür09] P. Bürgisser. Definendo numeri interi e dimostrando il limite inferiore del circuito aritmetico . Complessità computazionale 18 (1), 81-103, 2009.

— Bruno
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Goldreich et. al. hanno teoremi di gerarchia per i test delle proprietà:

Oded Goldreich, Michael Krivelevich, Ilan Newman, Eyal Rozenberg: teoremi di gerarchia per i test sulle proprietà. Test di proprietà , Appunti di lezione in Informatica, Vol. 6390, pagg. 289-294, Springer, 2010.

Anche sull'ECCC .

— Yonatan
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qui viene mostrato che la maggior parte delle proprietà richiedono query nel modello quantistico. Questo può essere inserito nella prova del teorema della gerarchia della risposta per dimostrare che vale anche per il test delle proprietà quantistiche. (In effetti per qualsiasi modello computazionale naturale con almeno una proprietà che richiede query per il test e qualsiasi calcolabile hai proprietà che sono verificabili in query).

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (g (n))

$\Omega(g(n))$

f (n) \in O (g (n))

$f(n) \in O(g(n))$

Θ (f (n))

$\Theta(f(n))$

— Artem Kaznatcheev

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Sipser ha mostrato una gerarchia di profondità all'interno di , ovvero che i circuiti di profondità di dimensione poli sono più potenti dei circuiti di profondità di dimensione poli: $AC^0$ $d+1$ $d$

Sipser, set di M. Borel e complessità del circuito . STOC 1983.

— Joshua Grochow
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Dieter van Melkebeek e coautori hanno gerarchie temporali e spaziali per modelli semantici con consigli, inclusa la randomizzazione.

Dieter van Melkebeek, Konstantin Pervyshev: una gerarchia temporale generica con un consiglio . Computational Complexity 16 (2): 139-179 (2007)
Jeff Kinne, Dieter van Melkebeek: risultati della gerarchia spaziale per modelli semantici randomizzati . Computational Complexity 19 (3): 423-475 (2010)

— Tyson Williams
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Qui ci sono più gerarchie per le classi semantiche con consigli. In particolare, per ZPTIME e RTIME.

Lance Fortnow, Rahul Santhanam, Luca Trevisan. Gerarchie per clasi semantiche . In STOC'05.

— Marcos Villagra
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Esiste la gerarchia di Zheng-Weihrauch per numeri reali

X. Zheng e K. Weihrauch. La gerarchia aritmetica dei numeri reali . Logica matematica Quarterly.Vol. 47 (2001), n. 51 51 - 65.

— Qualcuno
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Esiste una classe , definita in un articolo del 1975 di L. Adelman e K. Manders, che è un analogo della classe . Una lingua è contenuta in se esiste un polinomio tale che Se uguale a è un problema aperto. Questa uguaglianza mostrerebbe connessioni tra teoria dei numeri e informatica. $\mathsf{D}$ $\mathsf{NP}$ $L$ $\mathsf{D}$ $P$

x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1}, \dots y_{n} < p o l y (| x |) : P (x, y_{1}, \dots, y_{n}) = 0.

$x \in L \Leftrightarrow \exists y_1, \dots y_n < poly(|x|) \colon ~P(x, y_1,\dots, y_n) = 0.$

D

$\mathsf{D}$

N P

$\mathsf{NP}$

Esiste un analogo diophantine della gerarchia polinomiale, chiamato "gerarchia diophantine". Le gerarchie polinomiali e diophantine sono intrecciate:

\forall i \geq 1, Σ^{i} D \subset Σ^{i} P \subset Σ^{i + 1} D

$\forall i \ge 1,~\Sigma^i D \subset \Sigma^i P \subset \Sigma^{i + 1}D$

— Alexander Knop
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Intendi doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1975.9 o doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1976.13 ?

— András Salamon,

D

$D$ è definito nel secondo ("Complessità diofantina").

— GMB,

@ AndrásSalamon I collegamenti non sembrano funzionare.

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Un'altra gerarchia rigorosa: programmi di diramazione che testano ogni bit solo un numero limitato di volte. Più test sono consentiti, più ampia è la classe dei programmi di ramificazione. Di solito anche i programmi di ramificazione sono limitati alle dimensioni polinomiali. BP _d (P) è la classe di programmi di ramificazione di dimensioni polinomiali che possono testare ogni bit fino a volte. $d$

L / poli è l'unione di BP _d (P) su tutto d , mentre BP _d-1 (P) BP _d (P) per ogni d . $\subsetneq$

— András Salamon
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8

$\mathsf{W}$

$\mathsf{A}$
$\mathsf{AW}$
$\mathsf{EW}$
$\mathsf{LOG}$
$\mathsf{M}$
$\mathsf{S}$
$\mathsf{W^∗}$
$\mathsf{W^{func}}$

Sono tutti descritti nella teoria della complessità con parametri, Flum e Grohe, Birkhäuser, 2006 .

— Martin Lackner
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Non sono sicuro che questo soddisfi i tuoi criteri, ma esiste la gerarchia approfondita dei linguaggi regolari senza stelle.

— mhum
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6

La gerarchia per le dimensioni del circuito, vedere la domanda precedente .

— Emanuele Viola
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5

La teoria dei linguaggi regolari di alberi infiniti ha dato origine a diverse gerarchie, che sono attualmente studiate, con molte domande ancora aperte.

Quando si usano gli automi su alberi infiniti, la condizione di parità (o condizione di Mostowski) è di particolare interesse, poiché gli automi di parità non deterministici possono esprimere tutti i linguaggi regolari degli alberi ininiti e la struttura della condizione di accettazione è più semplice di altri come Rabin o Müller .

$[i,j]$ $i\in\{0,1\}$ $i\leq j$ $L$ $[i,j]$ $L$ $[i,j]$

gerarchia di Mostowski deterministica (non tutte le lingue normali)
gerarchia di Mostowski non deterministica
alternando gerarchia di Mostowski

$\Sigma_2\cap \Pi_2$ $L$

gerarchia dell'indice debole (non tutte le lingue normali)

$L$

— 4 giri
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$G_i$ $\mathsf{PH}$ $C \subset \mathsf{P}$ $C$

$\mathsf{S^i_j}$

— Kaveh
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Ecco una nuova gerarchia per le lingue senza contesto di Tomoyuki Yamakami.

$CFL$ $CFL^{CFL}$

— Marcos Villagra
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Elaborazione di uno dei punti elenco menzionati dall'OP (GoldreichKNR09): esistono numerosi teoremi di gerarchia nei test delle proprietà e prove di prossimità, relative alla complessità della query, all'adattabilità o alla testabilità in relazione al numero di round (per le prove di prossimità). Vedi, ad es.

Teoremi di gerarchia per i test sulle proprietà , Oded Goldreich, Michael KrivelevichIlan Newman e Eyal Rozenberg, 2012. https://link.springer.com/article/10.1007/s00037-011-0022-4 [menzionato dall'OP]
Un teorema di gerarchia per le prove interattive di prossimità , Tom Gur e Ron Rothblum, 2017. http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2017/8153/
Teoremi di gerarchia per il test delle proprietà nella complessità delle query di dimensioni ignare , Oded Goldreich, 2018. https://eccc.weizmann.ac.il/report/2018/098/
Un teorema della gerarchia di adattamento per i test delle proprietà , Clément Canonne e Tom Gur, 2018. https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00037-018-0168-4

— Clemente C.
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Puntatore a questa risposta , che si concentra sul primo (GoldreichKNR09).

— Clemente C.

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Da questa domanda su cs.stackexchange , sono diventato consapevole della gerarchia dei generi delle lingue normali . In sostanza, puoi caratterizzare linguaggi regolari basati sulla superficie minima del genere in cui può essere incorporato il grafico del loro DFA. È dimostrato in [1] che esistono lingue di genere arbitrariamente grande e che questa gerarchia è propria.

Bonfante, Guillaume e Florian Deloup. " Il genere delle lingue regolari. " Strutture matematiche in informatica 28.1 (2018): 14-44.

— mhum
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Conteggio della gerarchia polinomiale, in breve #PH. Il primo livello è #P quindi #NP ... ecc.

— Tayfun Pay
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$^{cc}$

— Denis Pankratov
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Grazie per l'aggiunta, ho modificato il tuo commento per chiarire che il coNP si riferisce alla complessità della comunicazione (so che questo è comunemente abbandonato nella comunità della complessità della comunicazione per evitare disordine della notazione).

— Chazisop,

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$D_{p}$

$NC^{k}$ $AC^{k}$ $P$ $PSPACE$ $P$ $UP$

Correlati per ulteriori studi sui connettivi booleani, e l'isomorfismo grafico sono le gerarchie basse e alte , anche riferimento di Wikipedia .

— utente3483902
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Altro dal lato oscuro: il mio teorema di erirarchia del secondo ordine per le logiche a virgola fissa nella teoria dei modelli finiti. Vedi ancora un altro teorema di gerarchia .

— Max Kubierschky
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