Costruzione di grafici in cui ogni coppia di vertici ha un unico vicino comune

Sia un semplice grafico su vertici senza vertici di grado . Supponiamo che per ogni due vertici di , vi sia un vertice unico adiacente ad entrambi. È un esercizio di A Course in Combinatorics , van Lint e Wilson, per dimostrare che tale grafico è regolare.$G$$n$$(n > 3)$$n − 1$$G$

La mia domanda, tuttavia, è se esistano anche grafici che soddisfano i vincoli dati. Durante la discussione dell'esercizio originale durante una sessione di risoluzione dei problemi, qualcuno ci ha chiesto se potevamo trovare un esempio di un grafico in cui ogni coppia di vertici ha un unico vicino comune e non ci sono vertici globali. Né siamo riusciti a trovare un esempio concreto o una procedura per la costruzione, né abbiamo stabilito una prova che nessun grafico abbia queste proprietà.

Eventuali suggerimenti?

Nota: per dimostrare che un tale grafico è regolare, risulta essere abbastanza semplice, l'idea approssimativa è quella di accoppiare i vicini di ogni coppia di vertici usando i criteri unici comuni vicini per stabilire il fatto che ogni coppia di i vertici hanno lo stesso grado e quindi un argomento di transitività, con l'aiuto del vincolo no-global-vertice, ci dà che il grafico è regolare.

Se ti sbarazzi della condizione "nessun vertice di grado ", i grafici con la proprietà che ogni due vertici hanno esattamente un vicino comune sono esattamente i grafici di amicizia (un insieme di triangoli incollati insieme a un vertice comune); come descritto nell'articolo collegato, questo è un teorema di Erdős, Rényi e Sós. Ma ovviamente tutti questi grafici hanno un vertice di grado ; l'unico regolare è un triangolo. Quindi la risposta alla tua domanda è che, no, non esiste un grafico con la proprietà del vicino comune e senza un vertice di grado .$n-1$$n-1$$n-1$