Convoluzione rapida su piccoli campi finiti

Quali sono i metodi più noti per la convoluzione ciclica della lunghezza su un piccolo campo, cioè quando ? Sono particolarmente interessato ai campi di dimensioni costanti, o anche . Dichiarazioni e riferimenti generali sull'efficienza asintotica sono molto apprezzati.$n$$|\mathbb{F}| \ll n$$\mathbb{F} = \mathbb{F}_2$

Sfondo: Sia un campo e . Pensiamo ai vettori come coordinate indicizzate da .$\mathbb{F}$$n > 0$$u \in \mathbb{F}^n$$\mathbb{Z}_n$

La convoluzione (ciclica) della lunghezza sopra è la trasformazione che prende e produce , definita da con indice aritmetico su Z n .$n$$\mathbb{F}$$u, v \in \mathbb{F}^n$$u * v \in \mathbb{F}^n$

Per eseguire la convoluzione ciclica su campi di grandi dimensioni, un metodo popolare è utilizzare il teorema di convoluzione per ridurre il nostro problema eseguendo trasformazioni discrete di Fourier (DFT) e usando un algoritmo FFT.

Per i piccoli campi finiti, il DFT è indefinito perché non c'è primitiva radice -esimo di unità. Si può aggirare questo problema incorporando ∗ il problema in un campo finito più ampio, ma non è chiaro che questo sia il modo migliore per procedere. Anche se prendiamo questa strada, sarebbe bello sapere se qualcuno ha già elaborato i dettagli (ad esempio, scegliendo quale campo più grande usare e quale algoritmo FFT applicare).$n$$^*$

Inserito il:

"Incorporando" la nostra convoluzione, intendo una delle due cose. Prima opzione: si potrebbe passare a un campo di estensione in cui le radici primitive desiderate dell'unità sono adiacenti, e fare lì la convoluzione. $^*$

Seconda opzione: se il nostro campo iniziale è ciclico, si potrebbe passare a un campo ciclico di caratteristica più ampia - abbastanza grande che se consideriamo i nostri vettori come situati in F p ′ , non si verifica alcun "avvolgimento". (Sono informale, ma pensa solo a come, per calcolare una convoluzione su F 2 , possiamo chiaramente fare semplicemente la stessa convoluzione su Z , e quindi prendere le risposte mod 2.)$\mathbb{F}_{p'}$$\mathbb{F}_{p'}$
$\mathbb{F}_2$$\mathbb{Z}$

Aggiunto anche:

Molti algoritmi per FFT e problemi correlati funzionano particolarmente bene per i valori "carini" di (e vorrei capire meglio la situazione). $n$

Ma se non si tenta di sfruttare i valori speciali di , il problema della convoluzione ciclica è sostanzialmente equivalente (mediante facili riduzioni che coinvolgono l'esplosione lineare in n ) alla convoluzione ordinaria; questo a sua volta equivale alla moltiplicazione dei polinomi con coefficienti superiori a F p . $n$$n$$\mathbb{F}_p$

Per questa equivalenza, si possono usare i risultati, ad esempio, in questo documento di von zur Gathen e Gerhard (basato sul lavoro di Cantor), che usano un approccio di estensione del campo per ottenere un limite di complessità del circuito di . Non indicano i loro limiti in modo particolarmente chiaro IMO, ma il limite è peggiore di n ⋅ log 2 n anche per F 2 . Si può fare di meglio?$\tilde{O}_p(n)$$n \cdot \log^2 n$$\mathbb{F}_2$

Un recente articolo di Alexey Pospelov sembra fornire lo stato dell'arte. (Non è il primo a raggiungere i limiti che citerò, ma li raggiunge in modo unificato per i campi arbitrari e, cosa altrettanto importante, indica chiaramente i limiti, vedi p. 3.)

possiamo moltiplicare due degree- n polinomi su un campo arbitrario F utilizzando O ( n log n ) moltiplicazioni in F e O ( n log n log log n ) aggiunte in F . Ciò è originariamente dovuto a Schonhage-Strassen (per char. ≠ 2 ) e Schonhage per char. 2. Come ho già detto, ciò implica gli stessi limiti della convoluzione ciclica. Pospelov afferma inoltre: "Al momento non siamo a conoscenza di algoritmi con un limite superiore di [quanto sopra] che non siano basati su applicazioni DFT consecutive ..."$\bullet$$n$$\mathbb{F}$$O(n \log n)$$\mathbb{F}$$O(n \log n \log \log n)$$\mathbb{F}$$\neq 2$

Cantor e Kaltofen hanno generalizzato questi risultati, mostrando i limiti per algebre arbitrarie (non solo campi).$\bullet$

Se F supporta la Trasformata di Fourier discreta di ordine appropriato, cioè se F ha unaradice N -esimaprimitivadi unità dove N è abbastanza grande (credo che N = O ( n ) sia sufficiente) e N è una potenza di 2 o 3 , quindi possiamo eseguire la moltiplicazione polinomiale con moltiplicazioni O ( n ) eaggiunte O ( n log n ) . Sono possibili vari altri miglioramenti per i campi con altre proprietà speciali.$\bullet$$\mathbb{F}$$\mathbb{F}$$N$$N$$N = O(n)$$N$$O(n)$$O(n \log n)$

Sembra plausibile, ma sconosciuto, se il recentemiglioramento diFurernella moltiplicazione dei numeri interi (riprovatoin modo diverso da De et al.) Può aiutare a condurre ad algoritmi di moltiplicazione polinomiale più rapidi, affermano campi finiti. Qualcuno può commentare?$\bullet$

La tesi di Todd Mateer sembra anche un'ottima risorsa per comprendere la letteratura FFT e le applicazioni alla moltiplicazione polinomiale (grazie Jug!); ma devi scavare di più per trovare quello che stai cercando.