Trovare una corrispondenza la cui contrazione minimizza il numero di archi in un grafico

Dato un grafico misto con i bordi e gli archi , trova una corrispondenza in che minimizza il numero di archi in , dove si ottiene da contraendo vertici abbinati e rimuovendo archi paralleli.$G=(V,E,A)$$E$$A$$E$$G/M$$G/M$$G$

(La versione decisionale di) questo problema NP è completo? È stato studiato in letteratura?

Non so se il tuo intento è quello di consentire che i bordi non orientati in E e gli archi in A siano paralleli o meno, ma alla fine non importa. In questa risposta, assumiamo che non si consentano che bordi e archi siano paralleli.

Si consideri un caso speciale in cui per ogni arco in A , A contiene anche l'arco nella direzione opposta. In questo caso, possiamo ignorare l'orientamento degli archi e considerarli non indirizzati. Chiamiamo bordi in E bordi neri e bordi in A bordi rossi .

Anche con queste due restrizioni, il problema è NP-completo con una riduzione da Max-2SAT. Sia φ una formula 2CNF in n variabili con clausole m . Costruisci un grafico G con 3 n vertici come segue. G ha 2 n bordi neri: e per i = 1,…, n . G ha bordi rossi. Innanzitutto, collega e per$x_1,\dots,x_n$$v_1,\dots,v_n,x_1,\dots,x_n,\bar{x}_1,\dots,\bar{x}_n$$(v_i,x_i)$$(v_i,\bar{x}_i)$$5\binom{n}{2}-m$$v_i$$v_j$i ≠ j da un bordo rosso. Quindi, per ogni variabile distinta e , considera quattro coppie di letterali . Connect letterali e da un bordo rosso se e solo se la clausola non appare in φ .$x_i$$x_j$$(l,l')=(x_i,x_j),(x_i,\bar{x}_j),(\bar{x}_i,x_j),(\bar{x}_i,\bar{x}_j)$$l$$l'$$(\bar{l}\vee\bar{l}')$

È chiaro che dobbiamo solo considerare gli abbinamenti massimi nei bordi neri per minimizzare il numero di bordi rossi dopo la contrazione. È anche chiaro che ogni corrispondenza massima M nei bordi neri è composta da n bordi che collegano a per i = 1, ..., n . Identifica questa corrispondenza M massima con l'assegnazione della verità . È facile verificare che dopo aver contratto M e rimosso i bordi paralleli, il grafico abbia esattamente bordi rossi, dove k$v_i$$l_i\in\{x_i,\bar{x}_i\}$$\{l_1,\dots,l_n\}$$4\binom{n}{2}-k$è il numero di clausole soddisfatte da questa assegnazione di verità. Pertanto, ridurre al minimo il numero di bordi rossi dopo aver contratto una corrispondenza nei bordi neri equivale a massimizzare il numero di clausole soddisfatte.