Sensibilità delle proprietà del grafico

In [1], Turan mostra che la sensibilità (chiamata "complessità critica" nel documento) di una proprietà del grafico è strettamente maggiore di doveè il numero di vertici nel grafico. Continua ipotizzando che qualsiasi proprietà del grafico non banale abbia una sensibilità. Egli menziona che ciò è stato verificato per. Sono stati fatti progressi su questa congettura? $\lfloor {1\over 4} m \rfloor$ $m$ $\geq m-1$ $m \leq 5$

sfondo

Sia una stringa binaria in . Definire per come stringa ottenuta da capovolgendo il bit . Per una funzione booleana \ a , definire la sensibilità di at come $x$ $\{0,1\}^n$ $x^i$ $1 \leq i \leq n$ $x$ $i^{th}$ $f: \{0,1\}^n$ $\{0,1\}$ $f$ $x$ . Infine, definisci lasensibilitàdi come $s(f;x) := |\{i : f(x) \neq f(x^i) \}|$ $f$ . $s(f) := \mbox{max}_x\; s(f;x)$

Una proprietà grafico è una raccolta rappresenta graficamente tale che se e è isomorfo a , allora . Possiamo pensare a una proprietà del grafico come l'unione delle proprietà cui è il sottoinsieme di costituito da grafici con vertici. Inoltre, possiamo concepire una proprietà del grafico come una funzione booleana su dove $\mathcal P$ $G \in \mathcal P$ $G'$ $G$ $G' \in \mathcal P$ $\mathcal P$ $\mathcal P_m$ $\mathcal P_m$ $\mathcal P$ $m$ $\mathcal P_m$ $\{0,1\}^n$ . Possiamo codificare un grafico suvertici in un vettore binario di lunghezza; ogni voce nel vettore corrisponde a una coppia di vertici e la voce èse quel bordo è presente nel grafico. Così, la sensibilità di una proprietà grafico è la sua sensibilitàquafunzione booleana. $n = {m \choose 2}$ $m$ $n$ $1$

Turan, G., La complessità critica delle proprietà grafiche, Information Processing Letters 18 (1984), 151-153.

graph-theory property-testing

— mhum
fonte

hai visto il sondaggio del 2002 di Buhrman e de Wolf ( homepages.cwi.nl/~rdewolf/publ/qc/dectree.ps )? non risponde direttamente alla tua domanda, ma ha maggiori informazioni sulla sensibilità delle funzioni in generale e anche per le proprietà del grafico monotono.

— Suresh Venkat,

le esigenze di codifica

bits

((\binom{m}{2}) + 1) \log m

$(\binom{m}{2}+1)\log m$

— Diego de Estrada

Il sondaggio che Suresh ha indicato fa apparire un articolo di Wegener [1] che conferma parzialmente la congettura. È valido per tutte le proprietà del grafico monotono e la disuguaglianza è stretta (si consideri la proprietà "Non ha vertici isolati"). Anche i risultati più recenti sarebbero apprezzati.

Wegener, L. La complessità critica di tutte le funzioni booleane (monotone) e delle proprietà del grafico monotono. Informazione e controllo , 67: 212-222, 1985.

— mhum
fonte