Decidibilità dell'uguaglianza dei CFL

Il problema seguente è decidibile:

Data una grammatica senza contesto , ? $G$ $L(G) = \varnothing$

Il seguente problema è indecidibile:

Data una grammatica senza contesto , ? $G$ $L(G) = A^{\ast}$

Esiste una caratterizzazione delle lingue senza contesto con uguaglianza decidibile ? $M$ $L(G) = M$

computability fl.formal-languages

— sdcvvc
fonte

Crosspost da math.SE .

— sdcvvc,

Ad esempio, è decidibile quando

è finito (facile), quando

(secondo il teorema di Parikh) o quando

(da Parikh e controllando l'intersezione con il complemento di

)

M

$M$

M = {a}^{*}

$M = \{a\}^{\ast}$

M = {a^{n} b^{n}}

$M = \{a^n b^n\}$

a^{*} b^{*}

$a^{\ast} b^{\ast}$

— sdcvvc,

Sai se l'insieme di CFG

st uguale a

è decidibile, è decidibile stesso? Che tipo di caratterizzazione stai cercando? Vuoi un "semplice" elenco di proprietà che coprirà tutti i casi?

G

$G$

L (G)

$L(G)$

— Kaveh,

Penso che questa sia esattamente la domanda.

— domotorp,

@Kaveh: Non so se quel set sia decidibile, anche se sembra che non lo sia. La migliore risposta sarebbe o alcune condizioni "semplici" che coprono tutti i casi, oppure esempi che dimostrano che il fenomeno è troppo complesso. È un po 'vago, ma penso che sia responsabile.

— sdcvvc,

Risposte:

Non sono sicuro che ci sia una caratterizzazione generale per l'equivalenza, ma i seguenti articoli di Hopcroft, Hunt e Rosenkrantz resp. potrebbe essere un buon inizio:

John E. Hopcroft, Sui problemi di equivalenza e contenimento per linguaggi senza contesto, Teoria dei sistemi informatici 3 (2): 119-124, doi: 10.1007 / BF01746517 ;
Harry B. Hunt, III e Daniel J. Rosenkrantz, Su problemi di equivalenza e contenimento per le lingue formali, Journal of the ACM 24 (3): 387--396, 1977, doi: 10.1145 / 322017.322020 .

Hopcroft mostra in particolare che, se è regolare, allora è decidibile se è limitato, cioè esistono parole st . $M$ $L(G)=M$ $M$ $n$ $w_1,w_2,\ldots,w_n$ $M\subseteq w_1^\ast w_2^\ast\cdots w_n^\ast$

— Sylvain
fonte

-2

Mi dispiace di avere un vecchio thread. Ma ecco qualcosa che potrebbe essere rilevante.

Sia pCFL la classe di CFL chiusi a permutazione. Il problema dell'uguaglianza per pCFL è decidibile.

Dato in , lascia . Secondo il teorema di Parikh, è semilineare ogni volta che è privo di contesto. $L$ $\Sigma = \{ \sigma_1 , \dots , \sigma_n \}$ $W_L = \{ \langle \#_{a_1}(w) , \dots , \#_{a_n}(w) \rangle \mid w \in L\}$ $W_L$ $L$

Ora, se è in PCFL , abbiamo che sse . Pertanto, per in pCFL , iff . Ma l'uguaglianza di insiemi semilineari è decidibile; vedere: $L$ $w \in L$ $\langle \#_{a_1}(w) , \dots , \#_{a_n}(w) \rangle \in W_L$ $L_1 , L_2$ $L_1 = L_2$ $W_{L_1} = W_{L_2}$

Huynh 1980 "La complessità dei set semilineari": http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F3-540-10003-2_81#

Ciò solleva una domanda a cui vorrei conoscere la risposta: è determinabile se un determinato linguaggio senza contesto è chiuso alla permutazione?

— Shane Steinert-Threlkeld
fonte

Questa non è una risposta alla domanda originale, ma una domanda separata (sebbene correlata). Si dovrebbe chiedere come è proprio questione (con un link a questa domanda) sia qui o sulla CS.SE .

— Artem Kaznatcheev

Sì, per favore cancella questa risposta e ripubblicala come una nuova domanda (con un link a questa)

— Suresh Venkat,

@SureshVenkat sembra che l'utente lo faccia alla fine di questa domanda . Quindi forse non è necessaria una nuova domanda.

— Artem Kaznatcheev

@ArtemKaznatcheev sì, ma poi il defn di

dovrebbe essere inserito anche in quella domanda.

pCFL

$\textbf{pCFL}$

— Suresh Venkat,