Complessità del grado tensore su un campo infinito

Un tensore è una generalizzazione di vettori e matrici a dimensioni superiori e il rango di un tensore generalizza anche il rango di una matrice. Vale a dire, la posizione di un tensore $T$ è il numero minimo di rango uno tensori che somma a $T$ . Un vettore e una matrice sono tensori rispettivamente di grado 1 e 2.

Gli elementi in provengono da un campo . Se è finito, allora Håstad ha dimostrato che decidere se il grado di un tensore di grado 3 è al massimo è NP-completo, ma quando è un campo infinito come le razionali , non dà (o cita) nessun limite superiore. $T$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{F}$ $r$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{Q}$

Domanda: Qual è il limite superiore più noto per la complessità di decidere se il grado di un tensore di grado 3 su è al massimo ? $T$ $\mathbb{Q}$ $r$

— Tyson Williams
fonte

Il rango di un tensore di grado tre su ℚ è uguale al rango dello stesso tensore su ℝ? In tal caso, il problema può essere formulato come un caso speciale della Teoria esistenziale dei Real e quindi risiede in PSPACE.

— Tsuyoshi Ito,

L'idea del mio commento precedente non funzionerà perché il grado di un tensore di grado tre su ℚ è talvolta diverso dal rango dello stesso tensore su ℝ. Sia {x, y} una base di uno spazio vettoriale bidimensionale e considera il tensore 2x⊗x⊗x + x⊗y⊗y + y⊗x⊗y + y⊗y⊗x. Non è difficile vedere che il suo rango su ℝ è due ma il suo rango su ℚ è maggiore di due. (Questo esempio è stato ottenuto modificando l'esempio che mostra che il rango su ℝ può essere diverso dal rango su ℂ in Kruskal 1989 ).

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi Ito Sono completamente d'accordo. Inoltre non riesco a trovare alcun limite superiore.

— Tyson Williams,

Penso che sia meglio chiedere la calcolabilità prima della complessità.

— Tsuyoshi Ito,

Il limite superiore banale è che è ce Håstad dimostra anche nella stessa carta che il problema è

sopra

. Il seguente problema più generale è completo: dato un tensore parzialmente riempito, c'è un completamento di esso che ha rango

N P - h a r d

$\mathsf{NP\text{-}hard}$

Q

$\mathbb{Q}$

\leq r

$\leq r$

— Kaveh,

Risposte:

C'è una prestampa recente a riguardo: http://galton.uchicago.edu/~lekheng/work/np.pdf . Esso dimostra che la maggior parte dei problemi di rango-correlata con tensori sono NP duramente nel corso e . (Indica anche che decidere il grado su è NP difficile.) $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{Q}$

— Bart
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Bart, quella prestampa (di Hillar e Lim) è formidabile ... grazie mille.

— John Sidles,

Bello. Tuttavia, non capisco questa frase: "Mentre il risultato di Håstad si applica a

, queste scelte di campi non hanno senso per tutti tranne uno dei problemi di cui sopra (l'eccezione è il sistema bilaterale di equazioni) in quanto questi sono problemi analitici ben definiti solo su un campo completo di caratteristica 0 con un valore assoluto. Tra tali campi,

sono di gran lunga i più comuni nelle applicazioni e quindi limiteremo le nostre discussioni a questi campi. "

Q

$\mathbb{Q}$

F_{q}

$\mathbb{F}_q$

R

$\mathbb{R}$

C

$\mathbb{C}$

— Tyson Williams,

Uno dei problemi a cui si fa riferimento nella citazione sopra è il grado. Questi autori stanno dicendo che il rango di un tensore non è ben definito su

Q

$\mathbb{Q}$

— Tyson Williams,

@Tyson: Penso che gli autori vogliono solo dire che per molte applicazioni numeriche (equazioni alle derivate parziali, di elaborazione del segnale), si vuole fare calcoli in

. Essendo un analista numerico me stesso, non vedo molte applicazioni definite su

. Essi non implicano che rango non è ben definito su

R

$\mathbb{R}$

C

$\mathbb{C}$

Q

$\mathbb{Q}$

Q

$\mathbb{Q}$

— Bart,

Sebbene questa sia stata davvero l'unica risposta (dal momento che John intendeva che il suo fosse un commento), credo ancora che questa risposta meriti la generosità poiché ha fornito un riferimento che ha mostrato durezza rispetto agli altri importanti campi infiniti (reali e complessi). Come suggerisce il titolo della mia domanda, sono curioso di avere campi infiniti in generale, ma ho deciso di porre domande sui razionali per avere una domanda con una risposta specifica. Prenderò ancora un'altra domanda come risposta accettata se qualcuno può fornire un limite superiore (o dimostrare che è imputabile).

— Tyson Williams,

Il libro Perspectives in Computational Complexity: The Somenath Biswas Anniversary Volume, pubblicato quest'estate (luglio 2014), concorda ampiamente con il consenso raggiunto qui. A pagina 199 , dice:

Per quanto ne so, non è nemmeno noto se [il problema del calcolo del rango di tensore] su sia decidibile. Su , la situazione è leggermente migliore ... Il problema è decidibile e persino in PSPACE, dal momento che può essere ridotto alla teoria esistenziale dei reali. $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$

— Tyson Williams
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Una recente prestampa lo conferma anche: arxiv.org/pdf/1612.04338v1.pdf . (Vedi la tabella a pagina 3.)

— Huck Bennett,

Nota: il testo che segue è stato inteso come un commento ... sicuramente non è una risposta, ma piuttosto un'osservazione pragmatica che è nata da una riformulazione dei Principi di risonanza magnetica di Charlie Slichter nel linguaggio della geometria simplettica e della teoria dell'informazione quantistica (che si ritrae naturalmente su spazi di stato del prodotto tensore di livello polinomiale). Al momento abbiamo una comprensione geometrica parziale di questi metodi di rango tensoriale, una comprensione informale quantistica marginale, essenzialmente nessuna comprensione teorica della complessità o combinatoria e una comprensione computazionale funzionante (ma ampiamente empirica).

Siamo molto interessati ad ampliare, approfondire e unificare questa comprensione, e quindi speriamo che altre persone pubblichino ulteriori risposte / commenti su questo argomento.

La nostra esperienza computazionale pratica è stata che la stima del rango su

è genericamente tracciabile con metodi di discesa più ripida ... a quanto ci risulta, questa robustezza sorge per una ragione geometrica, vale a dire il teorema della curvatura bisomiale olomorfa di Goldberg e Kobayashi. Questo è tutt'altro che una prova rigorosa, inutile dirlo.

C

$\mathbb{C}$

— John Sidles
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Questo teorema è facile da affermare? In caso contrario, puoi fornire un link a una buona dichiarazione e spiegazione?

— Tyson Williams,

@Tyson: Penso che John stia parlando della sua esperienza nella risoluzione di casi del problema e non di un teorema.

— Joe Fitzsimons,

Gli hai chiesto di un teorema e non sembra parlarne. Pensavo solo che l'avessi frainteso.

— Joe Fitzsimons,

In realtà, pensavo di aver postato un commento e sono rimasto sorpreso nel vederlo apparire come una risposta. Doh! L'ho appena modificato per aggiungere un riferimento, ma è ancora molto lontano da una risposta soddisfacente. Una bella domanda di Tyson Williams! :)

— John Sidles,

@Joe Ha menzionato il teorema della curvatura bisomiale olomorfa di Goldberg e Kobayashi, quindi glielo ho chiesto. Non sono sicuro che ciò significhi che l'ho frainteso o meno però.

— Tyson Williams,