La complessità di determinare se un grafico fisso è minore di un altro

Il risultato Robertson e Seymour dimostra un algoritmo per verificare se un grafo fisso è un minore di . Ho due domande e mezzo su questo argomento:$O(n^3)$$G$$H$

1) Sembra che ci siano stati miglioramenti a questo algoritmo da allora. Qual è attualmente l'algoritmo più noto?

2a) Cosa ipotizzano le persone come il limite ottimale?

L'algoritmo di Mohar per l'incorporamento su una superficie fissa e l'algoritmo di Kawarabayashi per il riconoscimento dei grafici -apex$k$ decidono l'appartenenza dei grafici caratterizzabili da minori proibiti nel tempo lineare, motivando l'ultima domanda:

2b) C'è qualche motivo per sospettare che possiamo farlo in tempo lineare?

Naturalmente, se qualcuno ha già elaborato un algoritmo a tempo lineare, le ultime due domande sono sciocche. :)

C'è una prestampa di Ken-ichi Kawarabayashi, Yusuke Kobayashi e Bruce Reed che rivendica un algoritmo temporale quadratico: " Il problema dei percorsi disgiunti nel tempo quadratico ". È formattato come presentazione di una conferenza piuttosto che come un giornale, quindi non sono sicuro che sia possibile verificarne i dettagli (non ci ho provato, io stesso).

Un recente sondaggio di Kawarabayashi cita questo come il risultato più noto per il problema dei percorsi disgiunti strettamente correlati: Ken-ichi Kawarabayashi (2011), "Il problema dei percorsi disgiunti: algoritmo e struttura", WALCOM: Algorithms and Computation, LNCS 6552, pp 2–7, doi: 10.1007 / 978-3-642-19094-0_2 .

Non so se questo significhi che l' affermazione nel commento di Kothari sia vapore o se significhi che è ancora in una fase precedente di essere scritta.$O(n\log n)$

$H$$h$ $G$$2^{O(h)} n + O(n^2 \log n)$$n$$h$