Teorema di Ladner generalizzato

Il teorema di Ladner afferma che se P ≠ NP, allora esiste una gerarchia infinita di classi di complessità che contengono rigorosamente P e strettamente contenute in NP. La dimostrazione utilizza la completezza di SAT con numerose riduzioni di NP. La gerarchia contiene classi di complessità costruite da una sorta di diagonalizzazione, ognuna contenente una lingua in cui le lingue nelle classi inferiori non sono molte riducibili.

Questo motiva la mia domanda:

Sia C una classe di complessità e D una classe di complessità che contiene rigorosamente C. Se D contiene linguaggi completi per una nozione di riduzione, esiste una gerarchia infinita di classi di complessità tra C e D, rispetto alla riduzione?

Più specificamente, vorrei sapere se ci sono risultati noti per D = P e C = LOGCFL o C = NC , per una nozione appropriata di riduzione.

L'articolo di Ladner include già il Teorema 7 per le classi C limitate nello spazio, come sottolineato da Kaveh in una risposta. Nella sua forma più forte questo dice: se NL ≠ NP allora c'è una sequenza infinita di lingue tra NL e NP, di durezza strettamente crescente. Questo è leggermente più generale della solita versione (Teorema 1), che è condizionata a P ≠ NP. Tuttavia, l'articolo di Ladner considera solo D = NP.

La risposta alla tua domanda è "sì" per un'ampia varietà di classi e riduzioni, comprese le riduzioni dello spazio di log e le classi che hai citato, come è dimostrato in questi documenti:

H. Vollmer. La tecnica del gap gap rivisitata . Informatica Logica, Appunti di lezione in Informatica Vol. 533, pagine 389-399, 1990.

K. Regan e H. Vollmer. Classi di complessità linguistiche e log-time . Theoretical Computer Science, 188 (1-2): 101-116, 1997.

(Puoi scaricare i file PostScript con gzip di questi documenti qui .)

Le prove seguono il principio di base dell'estensione del teorema di Ladner di Uwe Schöning:

Uwe Schöning. Un approccio uniforme per ottenere set diagonali in classi di complessità . Theoretical Computer Science 18 (1): 95-103, 1982.

La dimostrazione di Schöning è sempre stata la mia dimostrazione preferita del teorema di Ladner: è sia semplice che generale.

È molto probabile che tu possa farlo in un'impostazione generica. Quasi certamente un tale risultato è già stato dimostrato in un ambiente generico, ma i riferimenti mi sfuggono al momento. Quindi ecco una discussione da zero.

La scrittura su http://oldblog.computationalcomplexity.org/media/ladner.pdf ha due prove del teorema di Ladner. La seconda dimostrazione, di Russell Impagliazzo, produce un linguaggio della forma { x 01 f ( | x | ) } dove x codifica una formula soddisfacente e f è una particolare funzione calcolabile nel tempo polinomiale. Cioè, semplicemente riempiendo SAT con il numero appropriato di 1 , è possibile ottenere set "NP-intermedi". L'imbottitura viene eseguita per "diagonalizzare" su tutte le possibili riduzioni del tempo polinomiale, in modo che nessuna riduzione del tempo polinomiale da SAT a L $L_1$$x01^{f(|x|)}$$x$$f$$1$$L_1$funzionerà (supponendo ). Per dimostrare che ci sono infiniti gradi di durezza, si dovrebbe essere in grado di sostituire L 1 al posto di SAT nell'argomento precedente e ripetere l'argomento per L 2 = { x 0 1 f ( | x | ) | x ∈ L 1 }. Ripeti con L i = { x 0 1 f ( | x | ) | x ∈ L i $P \neq NP$$L_1$$L_2 =$$x 0 1^{f(|x|)} | x \in L_1$$L_i =$ }.$x 0 1^{f(|x|)} | x \in L_{i-1}$

Sembra chiaro che una tale prova possa essere generalizzata alle classi e D , dove (1) C è correttamente contenuto in D , (2) D ha un linguaggio completo sotto le riduzioni C , (3) l'elenco di tutte le riduzioni C può essere ricorsivamente elencate, e (4) la funzione f è calcolabile in C . Forse l'unico requisito preoccupante è l'ultimo, ma se guardi la definizione di f nel link, sembra molto facile da calcolare, per la maggior parte delle ragionevoli classi C che mi vengono in mente.$C$$D$$C$$D$$D$$C$$C$$f$$C$$f$$C$

Penso che la risposta è positiva per e la versione uniforme N C . La prova di Ladner non usa molto altro da quello che hai affermato e il fatto che la classe più piccola sia rappresentata in modo ricorsivo e dovrebbe funzionare con modifiche minori ma non ho controllato i dettagli, dai un'occhiata al testo di Lance qui .$C=L$$NC$

Aggiornare

Controlla il documento di Ladner sulla struttura della ridondabilità del tempo polinomiale

Ecco l'abstract: due nozioni di riducibilità del tempo polinomiale, qui indicate con e ≤ P m , sono state definite rispettivamente da Cook e Karp. Vengono studiate le proprietà astratte di queste due relazioni sul dominio degli insiemi calcolabili. Entrambe le relazioni si dimostrano dense e hanno coppie minime. Inoltre, esiste una sequenza strettamente ascendente con una coppia minima di limiti superiori alla sequenza. Il nostro metodo per mostrare la densità produce il risultato che se P ≠ N P ci sono membri di N P - P che non sono polinomiali completi.$\leq_T^P$$\leq_m^P$$P \neq NP$$NP - P$

$P$$A$$A \not \in P$$A \leq_m^P B$$B \not \leq_T^P A$

Vedi anche la sezione 6 che discute le generalizzazioni:

$C$$\leq_m^C$$\leq_T^C$$P$$C$

$C$$\leq_m^C$$\leq_T^C$$P$$C$

I termini classe temporale e classe spaziale sono definiti nel documento.

Ho fatto una domanda simile a Peter Shor a Mathoverflow qui . Secondo lui, non è a conoscenza di un tale risultato.

$NP\neq P$

$A$$\sum_i^p$$B \in \sum_{i-1}^p$$B$

Un altro problema interessante è considerare una generalizzazione di Ladner alle versioni promettenti delle classi semantiche, come promiseBPP, promiseMA, ecc.