Quali risultati nella teoria della complessità fanno un uso essenziale dell'uniformità?

Una prova di separazione delle classi di complessità utilizza l'uniformità delle classi di complessità essenzialmente se la prova non dimostra il risultato per la versione non uniforme, ad esempio le prove basate sulla diagonalizzazione (come i teoremi della gerarchia del tempo e dello spazio) fanno un uso essenziale dell'uniformità in quanto devono simulare i programmi in la classe più piccola.

Quali risultati nella teoria della complessità (oltre alle prove di diagonalizzazione) usano essenzialmente l'uniformità?

Sospettiamo che Permanent richieda circuiti di dimensioni superpolinomiali (in uno dei modelli aritmetici o booleani). Tuttavia, se consideriamo i circuiti booleani con gate di soglia, attualmente possiamo solo provare limiti inferiori superpoli nel caso di circuiti uniformi con limitazione di profondità . Credo che il riferimento più recente per risultati di questo tipo sia

"Un limite superpolinomiale inferiore sulla dimensione dei circuiti di soglia uniforme non a profondità costante per il permanente" di Koiran e Perifel.

(La loro prova comporta la diagonalizzazione ad un certo punto, quindi questo non rispetta rigorosamente il tuo criterio, ma ho pensato che potesse essere ancora interessante.)

Ho chiesto a molti esperti essenzialmente questa domanda e la risposta che ottengo sempre è: nessuna. Le prove di diagonalizzazione ovviamente usano l'uniformità, e queste sono al centro dei teoremi della gerarchia del tempo e dello spazio, così come i limiti inferiori del tipo spazio-temporale di Fortnow-Williams. Per quanto ne so, tutti gli altri limiti inferiori che conosciamo, sia per la separazione delle classi di complessità che per le strutture di dati, sembrano non uniformi. Sarebbe bello sapere che mi sbaglio però :).

Questo è solo un cavillo, ma come alludi nella tua domanda, è la simulazione che richiede l'uniformità, non la diagonalizzazione in sé. Quindi, se capisco la tua domanda, ciò includerebbe anche qualcosa come il teorema di Savitch, che utilizza la simulazione ma non la diagonalizzazione. Al contrario, potresti ipoteticamente avere una diagonalizzazione che non utilizza la simulazione. (Non so se sia di qualche utilità pratica, ma so che c'è stato un po 'di lavoro in tal senso tra cui un classico documento di Kozen.)

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