Preelaborazione ottimale per determinati tipi di query

Supponiamo di avere un semigruppo con elementi . Il nostro obiettivo è calcolare i prodotti .$(S,\circ)$$S=\lbrace s_1,s_2,\dots,s_n\rbrace$$s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$

Nel loro articolo "Pre-elaborazione ottimale per la risposta a domande di prodotti online" Alon e Schieber dimostrano che possiamo rispondere a ciascuna di queste domande in quasi tutti i passaggi (dove è la funzione inversa di Ackermann) usando solo quantità lineare di preelaborazione.$O(\alpha(n))$$\alpha$

Se si desidera che a ciascuna query possibile rispondere in fasi , si può ancora fare ciò con una sola elaborazione preliminare lineare?$s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$$O(\log(j-i))$

(Questa domanda è ispirata a questa recente domanda di Brendan McKay a Mathoverflow.)

Costruisci un albero binario bilanciato ordinato con nelle foglie (in ordine). In ogni nodo interno immagazzinare il prodotto delle foglie della sottostruttura radicata in . Questa pre-elaborazione ovviamente funziona in O tempo e spazio.$s_1,\dots,s_n$$v$$v$$(n)$

Ora, per calcolare un prodotto (dove ) a piedi l'albero dal al antenato meno comune (LCA) di e . Raccogli i prodotti memorizzati in ogni bambino giusto che pende dal percorso, escluso il bambino giusto dell'LCA. In altre parole, come si va su da al suo genitore , se è un figlio sinistro di , quindi prendere il prodotto conservato in 's figlio destro. Allo stesso modo, cammina da all'LCA e raccogli i prodotti immagazzinati nei bambini di sinistra appesi fuori da quel percorso. Moltiplica tutti questi prodotti, insieme a e$s_i\circ\ldots\circ s_j$$i<j$$i$$i$$j$$u$$v$$u$$v$$v$$j$$s_i$$s_j$ in ordine.