Cluster di consenso usando set union

Ho già pubblicato questa domanda un po 'di tempo fa su MathOverflow , ma per quanto ne sappia è ancora aperta, quindi la ripubblico qui nella speranza che qualcuno possa averne sentito parlare.

Dichiarazione problema

Siano , e tre partizioni in parti non (indicate da , e ) dell'insieme { }. Trova due permutazioni e che minimizzanoQ R p P h Q i R j 1 , 2 , … , n π σ p ∑ i = 1 | P i ∪ Q π i ∪ R σ i | $P$$Q$$R$$p$$P_h$$Q_i$$R_j$$1,2,\ldots,n$$\pi$$\sigma$

$$\sum_{i=1}^p\left|P_i\cup Q_{\pi_i}\cup R_{\sigma_i}\right|.$$

Domande

1) Qual è la complessità di questo problema (o del corrispondente problema decisionale)?

2) Se il problema è effettivamente risolvibile in un tempo polinomiale, rimane vero per qualsiasi numero delle partizioni?$k\geq 4$

Lavoro precedente

Berman, DasGupta, Kao e Wang ( http://dx.doi.org/10.1016/j.ipl.2007.06.008 ) studiano un problema simile per le partizioni , ma usando pairwise 's invece di in quanto sopra somma. Dimostrano che il problema è MAX-SNP-difficile per , anche quando ogni parte ha solo due elementi, riducendo MAX-CUT sui grafici cubici a un caso speciale del loro problema e danno un -approssimazione per qualsiasi . Finora, non sono stato in grado di trovare il mio problema in letteratura o di adattare la loro prova.Δ ∪ k = 3 ( 2 - 2 / k ) $k$$\Delta$$\cup$$k=3$$(2-2/k)$$k$

Subcase facili

Ecco alcuni sottocasi che ho trovato risolvibili in tempi polinomiali:

• il caso ;$k=2$
• il caso , per qualsiasi ;$p=2$$k$

Inoltre, quando , non ci sono due parti uguali e tutte le parti hanno dimensione , abbiamo il limite inferiore (non so se è stretto).2 3 p + $k=3$$2$$3p+1$

Il problema è NP-difficile. La prova è la riduzione del seguente problema:

Dato un grafico tripartito con N vertici in ogni parte, ci sono N triangoli disgiunti vertici in G ?$G$$N$$N$$G$

Ecco la riduzione: data un'istanza del problema sopra, lascia che A 1 , A 2 , A 3 denotino l'insieme di vertici in ciascuna parte di G , ed E i j sia l'insieme di spigoli tra A i e A j . Inoltre, il numero dei vertici in ogni parte di 1 , ... , N .$G$$A_1$$A_2$$A_3$$G$$E_{ij}$$A_i$$A_j$$1,\dotsc,N$

Costruiamo un'istanza del tuo problema con , dove M è un numero elevato (diciamo, M = 10 | E ( G ) | ) e p = N + 1 . Il primo | E ( G ) | elementi di { 1 , ... , n } corrispondono ai contorni di G . La partizione P è definita come segue:$n = |E(G)| + M$$M$$M = 10 |E(G)|$$p = N + 1$$|E(G)|$$\{1,\dotsc,n\}$$G$$P$ per i = 1 , ... , N è l'insieme dei bordi che hanno l' i esimo vertice A 1 come una delle loro estremità. Chiaramente questi insiemi sono disgiunti e la loro unione è E 1 , 2 ∪ E 1 , 3 . P N + 1 è tutto il resto, ovvero E 2 , 3 ∪ { | E ( G ) | + 1 , … , | $P_i$$i=1,\dotsc,N$$i$$A_1$$E_{1,2} \cup E_{1,3}$$P_{N+1}$ . Allo stesso modo, definiamo Q usando A 2 invece di A 1 e R usando A 3 invece di A 1 .$E_{2,3} \cup \{|E(G)| + 1, \dotsc, |E(G)| + M\}$$Q$$A_2$$A_1$$R$$A_3$$A_1$

Ora, sosteniamo che questa istanza ha una soluzione di costo al massimo se e solo se G ha N triangoli disgiunti. Per vederlo, nota innanzitutto che, poiché M è grande, qualsiasi soluzione che ha un costo inferiore a 2 M deve mappare P N + 1 a Q N + 1 e R N + 1 . Questo rappresenta già | E ( G ) $3|E(G)| - 3N + M$$G$$N$$M$$2 M$$P_{N+1}$$Q_{N+1}$$R_{N+1}$ del costo totale, quindi rimaniamo con 2 | E ( G ) | - 3 N . Ora, nota che l'intersezione di ogni P i e di ogni Q j è al massimo una (e similmente per P i e R k , e anche per Q j e R k ). Pertanto, la funzione obiettivo viene ridotta a icona se tutte queste intersezioni possono essere 1 contemporaneamente. Ciò corrisponde a N disgiunti triangoli G .$|E(G)| + M$$2 |E(G)| - 3 N$$P_i$$Q_j$$P_i$$R_k$$Q_j$$R_k$$N$$G$