Densità delle lingue complete di P.

Supponiamo che sia un linguaggio booleano, con stringhe finite oltre . Sia il numero di stringhe in con lunghezza . Per una funzione dagli interi positivi ai numeri reali positivi, ha una densità superiore se per tutti sufficientemente grandi . $L$ $\{0,1\}$ $L_n$ $L$ $n$ $d(n)$ $L$ $d(n)$ $L_n \le 2^n d(n)$ $n$

Qualche lingua booleana P-completa ha una densità superiore ? $O(1/n)$

Motivazione

PARITY ha densità superiore . SÌ (la lingua di tutte le stringhe binarie finite) ha una densità superiore 1. Qualsiasi lingua finita ha una densità superiore 0. $1/2$
Una lingua sparsa ha la proprietà che esiste un polinomio tale che per tutto . Se è una lingua sparsa, allora per un polinomio di grado uno maggiore di quello di , quindi la densità superiore di è zero. $L$ $p(n)$ $L_n - L_{n-1} \le p(n)$ $n$ $L$ $L_n \le p_1(n)$ $p_1$ $p$ $L$
Jin-Yi Cai e D. Sivakumar hanno mostrato che un linguaggio P-completo non può essere scarso a meno che P = L (= LOGSPACE). Poiché P = co-P, qualsiasi lingua di cui il complemento è scarso non può essere P-complete, a meno che P = L.
Per una semplice disuguaglianza (vedi ad es. Corollary 2 di Rosser e Schoenfeld 1962 ), PRIMES ha una densità superiore . Domanda I problemi PRIMES, FACTORING sono noti per essere P-hard? discute se PRIMES è P-hard (questo sembra essere attualmente aperto). $(\log_2 e)/n$
In un certo senso, i linguaggi completi (o universali) per una classe di complessità contengono tutta la struttura della classe. Quindi la mia ipotetica ipotesi, basata su una estrapolazione selvaggia del risultato di Cai e Sivakumar, sarebbe che tali lingue non possano essere troppo sparse. Il solito limite polinomiale che definisce le lingue sparse sembra troppo restrittivo, quindi sto chiedendo un limite un po 'meno restrittivo.

Il lavoro sulla bassezza da Fortnow, Hemaspaandra, e gli altri è anche possibilmente correlato.

$k$

Ringraziamenti

Vedi anche la domanda correlata Densità condizionale dei numeri primi . Grazie a @Tsuyoshi Ito e @Kaveh per i commenti utili su una versione precedente di questa domanda, che purtroppo era mal posta.

cc.complexity-theory reference-request p-hardness

— András Salamon
fonte

2^{n} / n

$2^n/n$

$1/n$

$L_n \subseteq \{0,1\}^n$ $d(n) \in \omega(1/n)$ $L'_{n + m} = \{x0^m | x \in L_n\}$ $m$ $n$ $L'$ $L'_k = \emptyset$ $k \neq n + m$ $L'$

d^{'} (n + m) = \frac{| L_{n + m}^{'} |}{2^{n + m}} = \frac{| L_{n} |}{2^{n + m}} \leq \frac{d (n)}{2^{m}}

$d'(n + m) = \frac{|L'_{n + m}|}{2^{n + m}} = \frac{|L_n|}{2^{n + m}} \leq \frac{d(n)}{2^m}$

$M$ $L$ $M'$ $L'$ $x$ $n$ $m(n)$ $m(n) \in poly(n)$

$1/n$ $m(n) = n$ $d'(2n) \leq d(n)/2^n \in O(1/n)$

— Artem Kaznatcheev
fonte

m

$m$

n

$n$

1 / \log n

$1/\log n$

Penso di sì, avresti solo bisogno di m = log log n. In generale per m = f (n) puoi scegliere qualsiasi f che si trova nello spazio LOG (con n in unario). (o NC se preferisci quelle riduzioni).

— Artem Kaznatcheev