Dagli estrattori ai generatori pseudocasuali?

Luca Trevisan ha mostrato quante costruzioni di generatori pseudocasuali possono in effetti essere pensate come costruzioni di estrattori:

http://www.cs.berkeley.edu/~luca/pubs/extractor-full.pdf

C'è un conversare significativo? Vale a dire, le costruzioni "naturali" degli estrattori possono essere pensate come costruzioni di generatori pseudocasuali (PRG)?

Le costruzioni degli estrattori sembrano corrispondere alle distribuzioni sui PRG (in modo tale che qualsiasi distinto non riuscirà a distinguere per quasi tutti). Ci sono applicazioni conosciute per questo?

Questa è una bella domanda di ricerca con diverse sfaccettature, e ci sono diversi modi di formalizzare la domanda a seconda che per estrattore intendi estrattore di semi o estrattore senza semi e se per PRG intendi PRG per circuiti booleani o una famiglia più specializzata (ad es. , spazi polarizzati in epsilon). Ecco alcuni pensieri informali dalla parte superiore della mia testa (ma non una risposta completa):

• Per estrattori seminati vs PRG in scatola nera (come in Nisan-Wigderson), sembra che il PRG in scatola nera sia un oggetto più forte dell'estrattore. Se guardi l'estrattore di Trevisan, non è solo un estrattore calcolabile in tempo polinomiale ma ha un'importante proprietà extra. Vale a dire, l'analisi contiene un elemento computazionale locale ed efficiente (vale a dire un algoritmo di decodifica di elenco locale). Questa funzione extra non è così importante per un estrattore (come oggetto combinatorio, anche se richiediamo che l'estrattore sia calcolabile a tempo polinomiale), ma è cruciale per un PRG (in modo che un distinguitore possa essere trasformato in modo efficiente in un algoritmo per calcolare il funzione difficile). In effetti ciò può essere formalizzato e Ta-Shma e Zuckerman hanno già formalizzato la definizione di "PRG black-box" nel loro documento "Codici degli estrattori". Mostrano che i PRG in scatola nera possono essere usati per costruire estrattori. Per il contrario, penso che si possa dimostrare che qualsiasi estrattore che soddisfa la proprietà di cui sopra corrisponde a un PRG black-box (nella lingua dell'estrattore, ciò significherebbe che il codice dell'estrattore risultante deve avere un efficiente decodificatore di elenco delle decisioni soft). Potresti anche trovare l'articolo di Vadhan "La teoria unificata della pseudo-casualità" rilevante per questa discussione.

• Nel mondo degli estrattori senza semi, Trevisan e Vadhan mostrano che le dure funzioni per una specifica famiglia di circuiti producono estrattori per quella famiglia (carta "Estrattori per fonti campionabili"). Quindi, ad esempio, una funzione che in media è davvero dura per AC0 può estrarre da sorgenti campionate da circuiti AC0 (se l'entropia minima della sorgente è sufficientemente grande). Le funzioni difficili si riferiscono naturalmente ai PRG (come osservato da Nisan-Wigderson). Quindi qui abbiamo di nuovo un'interazione leggermente diversa tra PRG ed estrattori senza semi. È tuttavia meno chiaro come si possa usare un estrattore per sorgenti campionabili (magari soddisfacendo alcune proprietà aggiuntive) per ottenere un PRG (il prossimo punto elenco dà una risposta parziale a questo). Questa direzione potrebbe essere meno interessante della discussione di cui sopra per gli estrattori di semi poiché fino a questa data non

• $S$$\{0,1\}^n$$n$$0$$2^m$$m$$S$$F$$|S \cap F|/|S|$$|F|/2^n$$F$$S$$|S \cap F|/|S|$$1/2$$\{0,1\}^n$$n-1$$1$$S$$0$$n-1$

Salil Vadhan mi ha scritto che la risposta alla mia domanda è nota e che i PRG sono equivalenti agli estrattori.

Citandolo:

"Vedi la proposta 21 e la discussione che segue nel mio sondaggio http://people.seas.harvard.edu/~salil/research/unified-icm.pdf (C'è un errore di battitura -" amplificatore di durezza black-box "dovrebbe essere" nero -box PRG construction ")

Dice che gli estrattori sono equivalenti alle costruzioni PRG in scatola nera in cui ti preoccupi solo della quantità di consulenza e non del tempo di esecuzione, nella riduzione. Chiedere un tempo di esecuzione limitato equivale a richiedere estrattori con "decodifica elenco locale". "

C'è un bel documento di Chris Umans sull'analogo di questa domanda per i dispersori: http://www.cs.caltech.edu/~umans/papers/U05-final.pdf

Dimostra che i dispersori che hanno una procedura di ricostruzione in tempo polinomiale, ma non necessariamente la proprietà di decodifica locale, implicano l'esistenza di colpire generatori di insiemi.

Ecco un altro modo per visualizzarlo: gli estrattori possono essere visualizzati come codici recuperabili da elenco (che è una variante più forte dei codici decodificabili da elenco) e i PRG black-box possono essere visualizzati da codici recuperabili da elenco locale . I dispersori possono essere visualizzati come codici recuperabili dall'elenco per zero errori. Ciò che Chris mostra è che un codice recuperabile da elenco per errore zero che ha una procedura di recupero da elenco a tempo polinomiale implica l'esistenza di un codice recuperabile da elenco con procedura di recupero da elenco locale .