Codifica rapida di vettori bilanciati

È facile vedere che per ogni $n$ esiste una 1-1 mappatura $F$ da {0,1} a {0,1} tale che per ogni il vettore è " bilanciato ", ovvero ha un numero uguale di 1 e 0 secondi. È possibile definire tale modo che dato possiamo calcolare efficiente? $^n$ $^{n+O(\log n)}$ $x$ $F(x)$ $F$ $x$ $F(x)$

Grazie.

ds.algorithms ds.data-structures encoding

— Piotr
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Suppongo che per "efficiente" intendi O (n) o giù di lì, escludendo l'argomento "prove casuali ripetute"?

— Suresh Venkat,

@Suresh, Saresti in grado di delineare l'argomento "ripetute prove casuali"?

— Emil,

un modo per dimostrare l'esistenza della mappatura è con il metodo probabilistico: selezionare F a caso, quindi la mappatura funziona con una certa probabilità. Ecco cosa intendevo.

— Suresh Venkat,

La domanda è perfettamente ben definita ma, a mio avviso, il titolo è fuorviante. Non definirei una mappatura F che soddisfa la condizione dichiarata una "codifica di vettori bilanciati" a meno che F non sia biiettivo. È più simile a una codifica di una stringa n-bit di un vettore bilanciato.

— Tsuyoshi Ito,

"Perfettamente ben definito" fino a possibili interpretazioni diverse di "in modo efficiente", intendo. Ma questo non è il punto del mio commento precedente.

— Tsuyoshi Ito,

Risposte:

Consideriamo le stringhe -bit . definizioni: $n$ $x$

= stringa di bit con gli ultimi bit integrati. $f(x,i)$ $x$ $i$
= "squilibrio" di : numero di 1s in numero di 0s in . $b(x)$ $x$ $x$ $-$ $x$

Ora correggi una stringa . Considera la funzione . osservazioni: $x$ $g(i) = b(f(x,i))$

. $g(0) = b(x)$
. $g(n) = -g(0)$
per tutti . Rimuoviamo uno 0 e aggiungiamo uno 1 o viceversa. $|g(i) - g(i+1)| = 2$ $i$

Ora ne segue che esiste una tale che . $i$ $-1 \le g(i) \le +1$

Quindi possiamo costruire una stringa di bit come segue: concatenare e la codifica binaria dell'indice . Il valore assoluto dello squilibrio di è . Inoltre, possiamo recuperare dato ; la mappatura è biiezione. $(n+O(\log n))$ $y$ $f(x,i)$ $i$ $y$ $O(\log n)$ $x$ $y$

Infine, è possibile aggiungere bit fittizi che riducono lo squilibrio di da a . $O(\log n)$ $y$ $O(\log n)$ $0$

— Jukka Suomela
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b (x) nella terza riga dovrebbe essere b (y).

— Emil,

Penso che dovresti eventualmente aggiungere un altro bit alla stringa x per assicurarti che abbia lunghezza pari (in modo che tu possa essere sicuro che g (i) sia zero per alcuni i).

— Emil,

g (i)

$g(i)$

i

$i$

g (i)

$g(i)$

i

$i$

1

$1$

i

$i$

@Jukka: Ah sì, vedo.

— Emil,

g (i)

$g(i)$

i

$i$

i

$i$

01

$01$

10

$10$

2 \log (n)

$2\log(n)$

$k$ $n$ $n/2$ $k\leq{n-1\choose n/2}$ $k$ $(n-1)$ $n/2$ $n-1$ $k-{n-1\choose n/2}$ $(n-1)$ $n/2-1$

— Zeyu
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E se riutilizzi il valore di un coefficiente binomiale per calcolare il coefficiente binomiale richiesto successivo, l'intero algoritmo viene eseguito nel tempo O (n).

— Tsuyoshi Ito,

Grazie! Questo ha senso. Immagino che il tempo di esecuzione dipenderà dal modello computazionale. Se è possibile eseguire operazioni su numeri n-bit in unità di tempo, l'implementazione di Tsuyoshi Ito verrà eseguita in tempo O (n). D'altra parte, se si contano le operazioni sui bit, il tempo sarà O (n ^ 2), credo.

— Piotr