Ci sono separazioni naturali nella gerarchia temporale non deterministica?

Il teorema originale della gerarchia temporale non deterministica è dovuto a Cook (il collegamento è con S. Cook, una gerarchia per la complessità temporale non deterministica , JCSS 7 343–353, 1973). Gli stati teorema che per ogni numero reale $r_1$ e $r_2$ , se $1 \le r_1 \lt r_2$ poi NTIME ( $n^{r_1}$ ) è strettamente contenuti all'interno NTIME ( $n^{r_2}$ ).

Una parte chiave della dimostrazione utilizza una diagonalizzazione (non specificata) per costruire un linguaggio di separazione dagli elementi della classe più piccola. Non solo questo è un argomento non costruttivo, ma i linguaggi ottenuti dalla diagonalizzazione di solito non forniscono intuizioni diverse dalla separazione stessa.

Se vogliamo comprendere la struttura della gerarchia NTIME, probabilmente è necessario rispondere alla seguente domanda:

Esiste un linguaggio naturale in NTIME ( $n^{k+1}$ ) ma non in NTIME ( $n^k$ )?

Un candidato potrebbe essere k-ISOLATED SAT , che richiede la ricerca di una soluzione per una formula CNF senza altre soluzioni entro la distanza di Hamming k. Tuttavia, dimostrando il limite inferiore sembra è difficile, come al solito. È ovvio che il controllo di una k-ball di Hamming è libero da potenziali soluzioni "dovrebbe" richiedere $\Omega(n^k)$ assegnazioni diverse da controllare, ma questo non è affatto facile da dimostrare . (Nota: Ryan Williams sottolinea che questo limite inferiore per $k$ -ISOLATED SAT dimostrerebbe effettivamente P ≠ NP, quindi questo problema non sembra essere il candidato giusto.)

Si noti che il teorema si mantiene incondizionatamente, indipendentemente da separazioni non provate come P vs. NP. Una risposta affermativa a questa domanda non risolverebbe quindi P vs. NP, a meno che non abbia proprietà aggiuntive come $k$ -ISOLATED SAT sopra. Una naturale separazione di NTIME potrebbe forse aiutare a illuminare parte del comportamento "difficile" di NP, la parte che deriva la sua difficoltà da un'infinita sequenza ascendente di durezza.

Poiché i limiti inferiori sono difficili, accetterò come risposta linguaggi naturali per i quali potremmo avere una buona ragione per credere a un limite inferiore, anche se potrebbe non esserci ancora una prova. Ad esempio, se questa domanda fosse stata su DTIME, avrei accettato $f(k)$ -CLIQUE, per una funzione non decrescente $f(x) \in \Theta(x)$ , come linguaggio naturale che probabilmente fornisce le separazioni richieste, sulla base del circuito limiti inferiori di Razborov e Rossman di e il $n^{1-\epsilon}$ -inapproximability di CLIQUE.

(Modificato per rispondere al commento di Kaveh e alla risposta di Ryan.)

Per quanto ne so, non conosciamo tali lingue, o se lo facciamo, vi sono significative controversie sulla "naturalezza" di esse. So che questa non è davvero una risposta soddisfacente, ma posso dire:

$\Omega(n^k)$$k$$P \neq NP$

$NTIME[n^{k+1}] - NTIME[n^k]$$NTIME[n^k]$

$\Sigma_2 TIME[n]$$k$$O(\log (\sum_{i=1}^k {n \choose i}))$$k$

Ecco la prova della parte (a). Sia ISOLATED SAT la versione del problema con dato come parte dell'input (in unario, diciamo). Supponiamo di dimostrare che ISOLATED SAT richiede tempo per tutti i . Se , allora è in per alcuni fissi (la prova usa una versione efficiente del teorema di Cook: se c'è un algoritmo SAT in esecuzione nel tempo , allora qualsiasi sufficiente). Ma abbiamo dimostrato che esiste una lingua in che non è in per ogniΩ ( n k$k$$\Omega(n^k)$$k$$P=NP$$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^c]$$c$$n^d$$c > d^2$$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^k]$$k$. Questa è una contraddizione, quindi .$P \neq NP$

Ecco la prova della parte (b). Se ogni potesse essere efficacemente ridotto a una formula SAT ISOLATA k (ad esempio, tutte le istanze bit di vengono ridotte a formule SAT-ISOLATE al massimo ) quindi . Ciò implicherebbe immediatamente il , ma inoltre sembra molto improbabile che tutto il possa essere simulato in modo così efficiente all'interno della gerarchia polinomiale.$L \in NTIME[n^k]$$n$$L$$k$$f(k) n^{c}$$NP=\bigcup_{k} NTIME[n^k] \subseteq \Sigma_2 TIME[n^{c+1}]$$coNP \neq NP$$NP$