Esclusivi modelli SAT vs Exactly

Unico SAT è il problema ben noto: data una formula CNF , è vero che ha esattamente un modello? $F$ $F$

Sono interessato al problema «Esattamente -SAT»: data una formula CNF e un intero , è vero che ha esattamente modelli? $m$ $F$ $m>1$ $F$ $m$

Entrambi i problemi sembrano simili. Quindi le mie domande sono:

1- Il polytime «Exactly -SAT» (molti-uno o Turing) è riducibile a SAT unico? $m$

2- Conosci qualche riferimento sull'argomento?

Grazie per le tue risposte.

Addendum , primi articoli sulla complessità di Exactly SAT: $m$

1- Janos Simon, Sulla differenza tra uno e molti, negli atti del quarto colloquio sugli automi, le lingue e la programmazione, 480-491, 1977.

2- Klaus W. Wagner, La complessità dei problemi combinatori con la rappresentazione concisa degli input, Acta Informatica, 23, 325-356, 1986.

In entrambi gli articoli, Exactly SAT ( ) viene mostrato come completo (con riduzioni multiple), dove la classe appartiene alla Gerarchia di conteggio (CH) delle classi di complessità. Informalmente, contiene tutti i problemi che possono essere espressi nel decidere se una determinata istanza ha almeno molte prove di dimensione polinomiale (la classe è nota per coincidere con la classe ). La classe è una variante di , dove "esattamente " sostituisce "almeno ". $m$ $m \geq 1$ $C=$ $C$ $C$ $m$ $C$ $PP$ $C=$ $C$ $m$ $m$

— Xavier Labouze
fonte

È riducibile di Polytime Turing: trova una soluzione, aggiungi una clausola eliminandola e ripeti fino a quando la formula diventa insoddisfacente.

— Kaveh,

1. la macchina indicherà il numero di soluzioni o che ha più di soluzioni. 2. è possibile aggiungere la negazione della congiunzione descrivendo la soluzione.

m

$m$

— Kaveh,

Se non si conosce la relazione tra PP e il conteggio del numero di soluzioni, consultare un libro di testo sulla teoria della complessità come Papadimitriou.

— Tsuyoshi Ito,

(1) Se m è limitato polinomialmente, il tuo problema è molti volte polinomiale riducibile a Unique SAT trattando un elenco di m soluzioni ordinate nell'ordine lessicografico come un unico certificato. (2) Per favore, non prendere il mio dare una risposta come prova che hai posto la tua domanda nel posto giusto. Penso che questa particolare domanda si trovi al limite tra argomento e argomento. Dovresti davvero considerare di porre le tue domande future da qualche altra parte.

— Tsuyoshi Ito,

Sebbene affermi che m è polinomialmente limitato, alcune delle affermazioni nella domanda richiedono che m sia arbitrario e non valga più se vincoli m per essere polinomialmente limitato. Devi capire di cosa stai parlando prima di poter porre una domanda coerente. Questo è il motivo per cui non voglio pubblicare una risposta a questa domanda qui, dove ci si aspetta che le domande siano a livello di ricerca.

— Tsuyoshi Ito,

Per il generale , esattamente-m-sat è strettamente più difficile di u-sat (quindi non si riduce ad esso) a meno che il PH non collassi. Il motivo è che PP può essere ottenuto usando un quantificatore esistenziale su query esattamente-m-SAT (esiste m> (metà delle assegnazioni) tale che esattamente-m-SAT), quindi se esattamente-m-sat è nel k ' il livello di PH, quindi PP è nel livello di (k + 1) '', quindi la gerarchia collassa (poiché P ^ PP contiene PH). Ma u-sat è chiaramente nel secondo livello di PH (in realtà in una sottoclasse chiamata DP). $m$

D'altra parte, come sopra menzionato da @Tsuyoshi, se è polinomiale, allora esattamente-m-sat è più di uno riutilizzabile a u-sat. $m$

— Noam
fonte

La ringrazio per la risposta. 1) Se è abbastanza piccolo (cioè polinomialmente limitato in , la dimensione della formula), allora esattamente SAT è riducibile negli Stati Uniti. Inoltre, se , come parte dell'ingresso, è abbastanza grande (cioè ), allora esattamente SAT è in P. Perché sarebbe un cambiamento così drastico per in mezzo? 2) Cosa ne pensi del post di aggiornamento? (perché non è corretto?)

m

$m$

n

$n$

m

$m$

m

$m$

m = 2^{O (n)}

$m= 2^{O(n)}$

m

$m$

m

$m$

— Xavier Labouze l'

La m grande non pone ancora il problema in P. Il post di aggiornamento non è corretto poiché l'affermazione che esattamente-k-sat è C = P-complete è vera quando k fa parte dell'input, quindi la tua riduzione a k / 2 -sat non ha senso.

— Noam,

m

$m$ fa parte dell'input. Lasciate introdurre nuove variabili, . Lascia che . ha esattamente lo stesso numero di modelli di e è polinomialmente legato nella dimensione di . Perché non concludere che la riduzione negli Stati Uniti (via ) vale?

m

$m$

y_{1}, y_{2} \dots y_{m}

$y_1,y_2 \cdots y_m$

F^{'} = F \land y_{1} \land y_{2} \land \dots \land y_{m}

$F'=F\land y_1 \land y_2 \land \cdots \land y_m$

F^{'}

$F'$

F

$F$

m

$m$

F^{'}

$F'$

F^{'}

$F'$

— Xavier Labouze,

F^{'}

$F'$ una dimensione esponenziale di (se è esponenziale in ), quindi la riduzione non è poli-tempo in generale.

F

$F$

m

$m$

| F |

$|F|$

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