Quando una proprietà FO uccide la durezza NL?

Contesto: consideriamo solo digrafi. Lascia che CYCLE sia il linguaggio dei grafici con un ciclo; è un problema completo della BN. Lascia che HASEDGE sia il linguaggio dei grafici con almeno un bordo. Quindi banalmente, $\text{CYCLE} \cup \text{HASEDGE}$ non è più difficile per NL, mentre $\text{CYCLE} \cup \overline{\text{HASEDGE}}$ rimane tale.

Problema reale: mi chiedo se la lingua è ancora NL-difficile.

CYCLE \cup {(V, E) : (\exists u, v, x, y) [E (u, v) \land E (x, y) \land \neg E (u, y) \land \neg E (x, v)]}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E):(\exists u,v,x,y)[E(u, v) \land E(x, y) \land \neg E(u, y) \land \neg E(x, v)]\}$

Domanda: per quale formula FO sul vocabolario dei grafici è NL-hard? Questa proprietà è decidibile? $\phi$

CYCLE \cup {(V, E) : (V, E) ⊨ ϕ}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E) : (V, E) \models \phi\}$

Grazie per il tuo contributo!

cc.complexity-theory graph-theory descriptive-complexity

— Michaël Cadilhac
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Risposte:

Fammi chiamare la proprietà nel tuo "Problema reale" . La seguente mappatura riduce in : $\text{NODIAG}$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

Per un dato , sostituisci ogni vertice in con due copie e , e se c'è un bordo in , fai in modo che abbia bordi e $G=(V,E)$ $v$ $G$ $v$ $v'$ $(u,v)$ $E$ $G'$ $(u,v), (u,v'), (u',v)$ . Quindi per ogni il grafico soddisfa . $(u',v')$ $G$ $G'$ $\neg \text{NODIAG}$

Inoltre, ha un ciclo se ha un ciclo, quindi soddisfa se satifica . Pertanto è NL-difficile. $G'$ $G$ $G'$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$ $G$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE}\cup \text{NODIAG}$

Penso che una costruzione simile funzionerebbe per ogni proprietà puramente universale.

— Jan Johannsen
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Grazie per il tuo lavoro Jan! Ma non sono sicuro che tu abbia affrontato completamente il problema, perché se una struttura NODIAG appare in G, appare comunque alla fine della tua costruzione, AFAIU.

— Michaël Cadilhac,

Sì, ma allora? La costruzione impone che

. Quindi se

, quindi

. OTOH, se

, quindi

, e quindi

. Pertanto la costruzione riduce da

G^{'} ⊨ \neg NODIAG

$G'\models \neg \text{NODIAG}$

G ⊨ CYCLE

$G\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE

$G'\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE \cup NODIAG

$G'\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

G ⊭ CYCLE

$G\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE

$G'\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE \cup NODIAG

$G'\not\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

CYCLE

$\text{CYCLE}$

CYCLE \cup NODIAG

$\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

— Jan Johannsen

Jan, mi dispiace profondamente, ho incasinato la formulazione della mia domanda; il sottografo descritto doveva essere pensato come un grafico ESCLUSO. Nota che con la frase precedente, dovrai solo aggiungere quattro nuovi nodi

e bordi

affinché il grafico sia fuori da NODIAG. Ancora una volta, mi dispiace molto per i refusi.

u, v, x, y

$u,v,x,y$

u \to v

$u \to v$

x \to y

$x \to y$

u \to y

$u \to y$

— Michaël Cadilhac,

(PS: Come ti devo per aver lavorato su una domanda errata, ecco un articolo TCS con un bel titolo che non appare nella tua lista: Diamonds are Forever (The Variety DA) di Tesson e Therien.)

— Michaël Cadilhac

In tal caso, che ne dici di aggiungere un nuovo vertice in ogni lato: in

sostituisci ogni

con

. Il grafico risultante

è ciclico se

è, e non ha la struttura esclusa. A proposito, non mantengo più quell'elenco.

G

$G$

e = (u, v)

$e = (u,v)$

(u, v_{e})

$(u,v_e)$

(v_{e}, v)

$(v_e,v)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

— Jan Johannsen,

Il vero problema è nelle FO. Verifica se esiste tale che e è ovviamente in FO. $a,b,c,d \in V(G)$ $(a,c),(b,d) \in E(G)$ $(a,d),(b,c) \notin E(G)$

Supponiamo che non ci siano tali , quindi ammette un ciclo diretto se e solo se ammette un ciclo diretto di lunghezza due. Questo può dedurre dal fatto che per ogni coppia di vertici e di , loro fuori-Gli e sono tali che o $a,b,c,d$ $G$ $G$ $a$ $b$ $G$ $N^-(a)$ $N^-(b)$ $N^-(a) \subseteq N^-(b)$ . $N^-(b) \subseteq N^-(a)$

Pertanto, è sufficiente verificare se esiste tale che , che è in FO. $a,b \in V(G)$ $(a,b),(b,a) \in E(G)$

Quindi, è in se e solo se $G$ $CYCLE \cup NODIAG$ $(\exists a,b,c,d)[(E(a,b) \wedge E(c,d) \wedge \neg E(a,d) \wedge \neg E(b,c)) \vee (E(a,b) \wedge E(b,a))]$

— Adrien
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Grazie Adrien. Ti andrebbe di aggiungere un argomento sul perché i quartieri esterni di due nodi siano comparabili? Aspetterò un po 'per vedere se qualcuno risolve il problema completo e se nessuno si presenta, cercherò la tua risposta.

— Michaël Cadilhac,

Non penso che la comparabilità dei quartieri fuori porta davvero. Prendi ad esempio il grafico di soli quattro vertici

con i bordi

. Questo grafico soddisfa la formula di Michael, ma

è incomparabile con

a, b, c, d

$a,b,c,d$

(a, c)

$(a,c)$

(b, d)

$(b,d)$

N^{-} (a) = {c}

$N^-(a) = \{ c\}$

N^{-} (b) = {d}

$N^-(b) = \{ d\}$

— Jan Johannsen,

@Jan: se non sbaglio, il punto di Adrien è che se un grafico <i> non soddisfa </i> la seconda parte, allora se ha un ciclo, ha un ciclo di lunghezza 2. Quindi il suo punto è che se il grafico <i> non soddisfa </i> la seconda parte, la comparabilità vale.

— Michaël Cadilhac,