Inapprossimabilità di set cover: posso assumere m = poly (n)?


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Sto cercando di dimostrare che un certo problema è inapprossimabile da una riduzione dalla copertura del set. La mia riduzione trasforma un'istanza con set di terra di dimensioni e in un'istanza del mio problema in cui un determinato parametro è di dimensione . Posso quindi mostrare che un'istanza di set cover in cui la dimensione della cover è s corrisponde a un'istanza del mio problema in cui la dimensione della soluzione ottimale è (o qualcosa del genere) e viceversa. Vorrei invocare Raz-Safra per concludere che il mio problema è inapprossimabile fino a un fattore di , per qualche costante . Funzionerebbe benissimo se potessi supporre chenmrO(n+m)2sclogrcmè delimitato da un polinomio fisso di . Qualcuno sa se è kosher assumerlo? Questo è certamente vero per la famiglia di istanze utilizzate nella prova di durezza NP standard per la copertura del set, ma non sono sicuro che ciò rimanga valido per il tipo di riduzioni del PCP impiegate da Raz e Safra.n

Risposte:


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Sì, il numero di set m in un'istanza set-cover è polinomiale nel numero di elementi.

A proposito: i risultati di durezza all'avanguardia per Set-Cover sono:

  • Con Noga Alon e Muli Safra, abbiamo mostrato come utilizzare il PCP Raz-Safra / Arora-Sudan per ottenere una costante migliore nel fattore di durezza .cclogn

    http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest-full.ps

  • Feige ha mostrato come ottenere il fattore di durezza ottimale , ipotizzando .(1ϵ)lnnNPDTIME(nloglogn)

    http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf

  • Di recente ho pubblicato una nota su come adattare la riduzione di Feige a un risultato di durezza NP (cioè un risultato basato su ), ipotizzando una plausibile congettura sui PCP (una congettura che chiamo "La congettura dei giochi di proiezione" - una specializzazione della "Congettura della scala scorrevole" del 1993 ai giochi di proiezione).PNP

    http://eccc.hpi-web.de/report/2011/112/ (in seguito ho scoperto che la riduzione offre un compromesso ottimale tra e l'esplosione della riduzione).ϵ


Qual è il presupposto di separazione più debole che produrrà ancora una durezza ? (1ϵ)logn
Suresh Venkat,

Dana, grazie per la tua risposta! Una domanda di follow-up, se non ti dispiace: è questa una domanda "stupida", vale a dire, ci sono considerazioni di alto livello che implicano m = poly (n), o è il caso che si debba effettivamente conoscere il Prova di durezza Raz-Safra per rispondere alla mia domanda?
Edith Elkind,

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@Suresh: suppongo che intendi . L'ipotesi di Feige ( ) e la mia ipotesi ("The Projection Games Conjecture") sono incomparabili. Credo che la mia ipotesi sarebbe dimostrata nel prossimo futuro. (1ϵ)lnnNPDTIME(nloglogn)
Dana Moshkovitz,

@lostinjungle: se m non fosse stato polinomiale in n, non avresti potuto considerare la riduzione una "riduzione poli-tempo". Il motivo particolare per cui un PCP Raz-Safra / Arora-Sudan produce m = poli (n) è che esiste un insieme per una variabile / vincolo PCP + e assegnazione a essi, nonché il numero di variabili e vincoli, nonché il la dimensione dell'alfabeto è polinomiale e il numero di query è costante.
Dana Moshkovitz,

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@DanaMoshkovitz: grazie! Non sono sicuro di aver capito la tua prima affermazione, però. Cosa c'è di sbagliato nella seguente (ipotetica) riduzione: inizio con un'istanza di (diciamo) Vertex Cover con vertici e creo un'istanza di Set Cover con set e ground set di dimensione , dove è la soluzione a ? Questo funziona sicuramente in poly-time. Certo, non ho mai visto una riduzione come questa, ma non sembra logicamente impossibile. O mi sbaglio? Naturalmente, alla mia domanda originale è già stata data una risposta, quindi sentitevi liberi di ignorare questa domanda. Sono solo curioso ...km=k3nnnlogn=m
Edith Elkind,
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