Quali problemi di


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La famosa immagine di The World di Neil Immerman è la seguente (clicca per ingrandire):

                                       

La sua classe "Davvero fattibile" non include altre classi; la mia domanda è quindi:

Che cos'è un problema AC 0 considerato non pratico e perché?


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Forse un problema che richiede circuiti di profondità 10 ^ {10 ^ 100}?
Tsuyoshi Ito,

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@Ross: non la penso così perché non ha menzionato il "mondo reale" e ha chiesto "perché"; Penso che il mio commento precedente risponda almeno alla parte del "perché". Tuttavia, devo ammettere che non ho un esempio di problemi "naturali" che sono in AC0 e richiedono circuiti di profondità 10 ^ {10 ^ 100}.
Tsuyoshi Ito,

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Esistono numerosi problemi interessanti nel mondo reale che potrebbero essere risolti in tempo e spazio costanti (praticamente in qualsiasi modello di calcolo), eppure le persone hanno ora idea di come risolverli in pratica. Esempi estremi stanno calcolando alcune costanti; potremmo codificare la risposta giusta (ad es. 0 o 1), ma non conosciamo ancora la risposta.
Jukka Suomela,

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Jukka: quelli sono casi di problemi. Le equazioni diofanti (come quella di Fermat) sono indecidibili come classe, anche se i singoli casi che abbiamo deciso in realtà hanno circuiti a profondità costante.
András Salamon,

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@ András: Se preferisci problemi di decisione con infiniti casi "sì" e "no": Sia composto da tutti i numeri pari e da x , dove x = 1 se il giocatore bianco ha una strategia vincente negli scacchi e altrimenti x = 3 . In verità, esiste una famiglia di circuiti molto semplice che decide L , ma direi comunque che è "poco pratico". Non perché il circuito sarebbe enorme, ma perché progettare il circuito sarebbe un enorme sforzo computazionale ... Barare? -)Lxx=1x=3L
Jukka Suomela,

Risposte:


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Se si desidera un esempio di una funzione AC 0 che richiede la profondità e che non può essere calcolata dai circuiti AC 0 della profondità d - 1 , provare le funzioni Sipser S d , n . L'apice d è la profondità necessaria per un circuito AC 0 di dimensioni polinomiali . Con la profondità d - 1 , il circuito avrebbe bisogno esponenzialmente di molte porte.dd1Sd,ndd1

Quindi calcolare per d = 10 10 100 non sarebbe "veramente fattibile".Sd,nd=1010100

EDIT: La tua domanda chiede anche perché questo non sarebbe fattibile. Immagino che il motivo sia che è maggiore del numero di atomi nell'universo visibile.1010100


Fantastico, grazie! Forse puoi aggiungere una definizione informale delle funzioni Sipser? Non sapevo di quel nome.
Michaël Cadilhac,

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@ Michaël: purtroppo non ho una buona definizione intuitiva per le funzioni Sipser. L'idea è quella di fare una funzione di quantificatori d in modo tale che nessun circuito di profondità d-1 possa calcolarlo. Quindi vogliamo che i quantificatori d quantificino su un numero molto grande di variabili. C'è un bell'articolo di Iddo Tzameret, intitolato "Separazione di circuiti a profondità costante di Håstad usando le funzioni sipser " ( itcs.tsinghua.edu.cn/~tzameret/SipserSwitching.pdf ) che definisce formalmente le funzioni a pagina 7.
Robin Kothari

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Tutta questa gerarchia è intenzionalmente robusta sotto i cambiamenti polinomiali delle dimensioni dell'input. Ogni classe in essa contenuta può quindi contenere funzioni la cui complessità è dire n ^ {1000000000} che sarebbe teoricamente "fattibile" ma certamente non praticamente così. Questi, tuttavia, molto probabilmente saranno problemi molto artificiali. In particolare da un argomento di conteggio esiste una famiglia di formula DNF (= circuiti AC ^ 0 profondità 2) di dimensioni n ^ 1000000 che nessun algoritmo il cui tempo di esecuzione è inferiore a n ^ 999999 può calcolare. (In un ambiente uniforme ci aspettiamo qualcosa di simile ma non possiamo provarlo.)


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Il problema di arresto quando l'ingresso è rappresentato in unario è in AC ^ 0 e tuttavia nella realtà è abbastanza irrealizzabile. Non sono sicuro che questo fosse ciò che intendevi, ma potrebbe essere ciò che intendeva Immerman.


Immagino che le classi nel diagramma siano definite con una nozione di uniformità? Altrimenti la direzione verso l'alto non rappresenterebbe il contenimento, poiché P non contiene AC ^ 0 non uniforme.
Robin Kothari,

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Sì, le classi nella foto sono uniformi. Ad esempio, è necessario che unUNC0 la famiglia di circuiti può essere codificata come un linguaggio accettato da una classe di complessità uniforme debole come FO (dove FO è la classe di {0,1} stringhe definite da formule di primo ordine nella lingua {0,mun'X;X,BioT,,=}, per Xl'unico predicato unario non specificato).
Iddo Tzameret,

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Punto ben ripreso. In alternativa, seguendo Erdos, si potrebbe invece suggerire il problema che per ogni input, viene emesso il numero di Ramsey per sei rosso e sei blu.
Elad
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