Quali problemi di

La famosa immagine di The World di Neil Immerman è la seguente (clicca per ingrandire):

La sua classe "Davvero fattibile" non include altre classi; la mia domanda è quindi:

Che cos'è un problema AC ⁰ considerato non pratico e perché?

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Michaël Cadilhac
fonte

Forse un problema che richiede circuiti di profondità 10 ^ {10 ^ 100}?

— Tsuyoshi Ito,

@Ross: non la penso così perché non ha menzionato il "mondo reale" e ha chiesto "perché"; Penso che il mio commento precedente risponda almeno alla parte del "perché". Tuttavia, devo ammettere che non ho un esempio di problemi "naturali" che sono in AC0 e richiedono circuiti di profondità 10 ^ {10 ^ 100}.

— Tsuyoshi Ito,

Esistono numerosi problemi interessanti nel mondo reale che potrebbero essere risolti in tempo e spazio costanti (praticamente in qualsiasi modello di calcolo), eppure le persone hanno ora idea di come risolverli in pratica. Esempi estremi stanno calcolando alcune costanti; potremmo codificare la risposta giusta (ad es. 0 o 1), ma non conosciamo ancora la risposta.

— Jukka Suomela,

Jukka: quelli sono casi di problemi. Le equazioni diofanti (come quella di Fermat) sono indecidibili come classe, anche se i singoli casi che abbiamo deciso in realtà hanno circuiti a profondità costante.

— András Salamon,

@ András: Se preferisci problemi di decisione con infiniti casi "sì" e "no": Sia

composto da tutti i numeri pari e da

, dove

se il giocatore bianco ha una strategia vincente negli scacchi e altrimenti

. In verità, esiste una famiglia di circuiti molto semplice che decide

, ma direi comunque che è "poco pratico". Non perché il circuito sarebbe enorme, ma perché progettare il circuito sarebbe un enorme sforzo computazionale ... Barare? -)

L

$L$

x

$x$

x = 1

$x = 1$

x = 3

$x = 3$

L

$L$

— Jukka Suomela,

Risposte:

Se si desidera un esempio di una funzione AC ⁰ che richiede la profondità e che non può essere calcolata dai circuiti AC ⁰ della profondità , provare le funzioni Sipser . L'apice è la profondità necessaria per un circuito AC ^{0 di} dimensioni polinomiali . Con la profondità , il circuito avrebbe bisogno esponenzialmente di molte porte. $d$ $d-1$ $S^{d,n}$ $d$ $d-1$

Quindi calcolare per non sarebbe "veramente fattibile". $S^{d,n}$ $d = 10^{10^{100}}$

EDIT: La tua domanda chiede anche perché questo non sarebbe fattibile. Immagino che il motivo sia che è maggiore del numero di atomi nell'universo visibile. $10^{10^{100}}$

— Robin Kothari
fonte

Fantastico, grazie! Forse puoi aggiungere una definizione informale delle funzioni Sipser? Non sapevo di quel nome.

— Michaël Cadilhac,

@ Michaël: purtroppo non ho una buona definizione intuitiva per le funzioni Sipser. L'idea è quella di fare una funzione di quantificatori d in modo tale che nessun circuito di profondità d-1 possa calcolarlo. Quindi vogliamo che i quantificatori d quantificino su un numero molto grande di variabili. C'è un bell'articolo di Iddo Tzameret, intitolato "Separazione di circuiti a profondità costante di Håstad usando le funzioni sipser " ( itcs.tsinghua.edu.cn/~tzameret/SipserSwitching.pdf ) che definisce formalmente le funzioni a pagina 7.

— Robin Kothari

Tutta questa gerarchia è intenzionalmente robusta sotto i cambiamenti polinomiali delle dimensioni dell'input. Ogni classe in essa contenuta può quindi contenere funzioni la cui complessità è dire n ^ {1000000000} che sarebbe teoricamente "fattibile" ma certamente non praticamente così. Questi, tuttavia, molto probabilmente saranno problemi molto artificiali. In particolare da un argomento di conteggio esiste una famiglia di formula DNF (= circuiti AC ^ 0 profondità 2) di dimensioni n ^ 1000000 che nessun algoritmo il cui tempo di esecuzione è inferiore a n ^ 999999 può calcolare. (In un ambiente uniforme ci aspettiamo qualcosa di simile ma non possiamo provarlo.)

— Noam
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Il problema di arresto quando l'ingresso è rappresentato in unario è in AC ^ 0 e tuttavia nella realtà è abbastanza irrealizzabile. Non sono sicuro che questo fosse ciò che intendevi, ma potrebbe essere ciò che intendeva Immerman.

— Elad
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Immagino che le classi nel diagramma siano definite con una nozione di uniformità? Altrimenti la direzione verso l'alto non rappresenterebbe il contenimento, poiché P non contiene AC ^ 0 non uniforme.

— Robin Kothari,

Sì, le classi nella foto sono uniformi. Ad esempio, è necessario che un

A C^{0}

$AC^0$ la famiglia di circuiti può essere codificata come un linguaggio accettato da una classe di complessità uniforme debole come FO (dove FO è la classe di

{0, 1}

$\{0,1\}$ stringhe definite da formule di primo ordine nella lingua

{0, m a x; X, B I T, \leq, =}

$\{0,max; X,BIT,\le,=\}$ , per

X

$X$ l'unico predicato unario non specificato).

— Iddo Tzameret,

Punto ben ripreso. In alternativa, seguendo Erdos, si potrebbe invece suggerire il problema che per ogni input, viene emesso il numero di Ramsey per sei rosso e sei blu.

— Elad