Funzioni non costruibili e risultati anomali

Nel libro Arora-Barak, nella definizione di funzioni costruibili nel tempo, si dice che l'uso di funzioni che non sono costruibili nel tempo può portare a "risultati anomali". Qualcuno ha un esempio di tale "risultato anomalo"? Ho sentito in particolare che potrebbero esistere funzioni tali che il teorema della gerarchia temporale non regge, qualcuno ha un esempio di tali funzioni? C'è qualcosa al riguardo da qualche parte nella letteratura?

Teorema del gap di Borodin : per ogni funzione calcolabile totale , esiste una funzione calcolabile totale tale che .t D T I M E [ g ( t ( n ) ) ] = D T I M E [ t ( n ) $g(n) \geq n$$t$$DTIME[g(t(n))] = DTIME[t(n)]$

In realtà, questo vale per qualsiasi misura di complessità Blum al posto di .$DTIME$

Vedi anche la pagina di Wikipedia e riferimenti in essa.

Poiché l'articolo di Wikipedia non fornisce la prova e l'articolo è su ACM DL ho pensato che potesse essere utile pubblicare la prova qui:

TEOREMA 3.7. (Teorema di Gap).

Sia una misura di complessità, una funzione ricorsiva non decrescente tale che . Esiste quindi una crescente funzione ricorsiva tale che le funzioni calcolabili della misura della complessità sono le stesse funzioni calcolabili della misura della complessità .g ∀ x , g ( x ) ≥ x t t g ∘ $\Phi$$g$$\forall x, g(x) \geq x$$t$$t$$g\circ t$

PROVA.

Definire come segue:$t$

t ( n ) : = μ k > t ( n - 1 ) : ∀ i ≤ n , ( Φ i ( n ) < k ∨ Φ i ( n ) > g ( k )

$$t(0) := 1$$ $$t(n) := \mu{ k > t(n-1)}: \forall i \leq n, (\Phi_i(n)<k \lor \Phi_i(n)> g(k) )$$

1. per tutto , c'è una , poiché per tutto :k i ≤ $n$$k$$i \leq n$

   un. se non è definito, allora e$\Phi_i(n)$$\forall k, \Phi_i(n)>g(k)$

   b. se definito, allora .$\Phi_i(n)$$\exists k, \Phi_i(n) < k$

2. $k$ può essere trovato in modo ricorsivo, poiché è una misura di complessità e quindi e sono predicati ricorsivi.$\Phi$$\Phi_i(n) <k$$\Phi_i(n) > g(k)$

3. $t$ soddisfa il teorema, poiché implica che o .$n \geq i$$\Phi_i(n) < t(n)$$\Phi_i(n) > g \circ t(n)$

QED.

Osserviamo che una arbitrariamente grande può essere trovata per soddisfare il Teorema 3.7. Supponiamo di voler , quindi definire$t$$t(n) > r(n)$

t ( n ) : = μ k > m a x { t ( n - 1 ) , r ( n ) } :

$$t(0) := r(0) + 1$$ $$t(n) := \mu{k > max\{t(n-1), r(n)\}}: \ldots$$

(da Allan Borodin, " Complessità computazionale ed esistenza di lacune di complessità ", JACM 1972, con lievi modifiche.)