Calcolo della costante di Cheeger: fattibile per quali classi?

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Il calcolo della costante di Cheeger di un grafico , noto anche come costante isoperimetrica (poiché è essenzialmente un rapporto area / volume minimo), è noto per essere NP-completo. Generalmente è approssimato. Sono interessato a sapere se sono noti algoritmi polinomiali esatti per classi speciali di grafici. Ad esempio, è ancora NP completo per i grafici regolari ? Per grafici a distanza regolare ? (Non ho studiato le prove di completezza NP esistenti per esaminare i loro presupposti.) Indicatori di letteratura apprezzati — grazie!

ds.algorithms reference-request graph-algorithms

— Joseph O'Rourke
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è una bella domanda Le approssimazioni hanno qualcosa a che fare con i metodi di taglio più sparsi?

— Suresh Venkat,

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So che questa è una vecchia domanda, ma mi chiedevo se qualcuno fosse a conoscenza di un'approssimazione del tempo polinomiale per i grafici generali che ottengono la costante all'interno di una percentuale fissa?

— Yberman,

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Si noti che l'approssimazione del taglio più spinto all'interno di fornisce un'approssimazione per la costante di Cheeger come definita. Ecco alcuni articoli che forniscono algoritmi di approssimazione costante per tagli più sparsi in grafici ristretti: $\alpha$ $2\alpha$

Genere limitato: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1873619
Larghezza dell'albero limitata: http://arxiv.org/abs/1006.3970

Inoltre, http://arxiv.org/abs/1006.3970v2 dimostra che il taglio più scarso è NP-difficile per i grafici con pathwidth 2 e ha molti altri riferimenti al taglio più approssimativo approssimativo su istanze limitate.

Suppongo che per tutte le classi di grafici citati nel documento, non siano noti algoritmi esatti (poiché sono interessati alle approssimazioni). In particolare, se il taglio più scarso è NP-difficile per i grafici con pathwidth 2, è anche NP-hard per i grafici di treewidth 2 e cutwidth 2. Suppongo che non dia abbastanza spazio .. forse c'è un altro migliore parametrizzazione per tagli più sparsi.

Sono abbastanza sicuro che il taglio più scarso sia NP-duro su grafici regolari ma non riesco a trovare un riferimento.

Per notato che non stavo attento quando ho guardato i documenti sopra. Il risultato della durezza è per il taglio più uniforme non uniforme. Il calcolo del taglio più sparso uniforme o della costante di Cheeger è facile sugli alberi (WLOG il taglio ottimale separa una sottostruttura). Con un po 'più di lavoro che fornisce un algoritmo di programmazione dinamica per calcolare la costante di Cheeger su grafici con larghezza di albero limitata.

La tabella 1 nel precedente documento 2 menziona anche un risultato che fornisce un'approssimazione costante per i grafici con un minore escluso.

Per i grafici di genere limitati, il meglio che sembra essere noto è un'approssimazione costante (la carta 1 sopra fornisce dove è il genere. $O(\sqrt{\log g})$ $g$

— Sasho Nikolov
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Non puoi semplicemente regolare qualsiasi grafico aggiungendo auto-loop?

— MCH

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@MCH in questo modo i vertici di grado dispari rimangono di grado dispari e vertici di grado pari rimangono di grado pari

— Sasho Nikolov

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Il risultato di durezza menzionato per la larghezza del percorso 2 è per il taglio più raro non uniforme , che non è così rilevante per la costante di Cheeger. In effetti, per quanto posso vedere, è facile calcolare il taglio uniforme più sparso o la costante di Cheeger esattamente nei grafici della larghezza dell'albero limitata.

— Per Austrin,

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Per la soluzione esatta nei grafici planari, vedere Park and Phillips, STOC 93 . Questo è essenzialmente per le richieste uniformi più rarefatte, con la piccola differenza che il loro denominatore è | S | invece di | S | * | VS |. Come sottolineato da Per, il caso delle richieste non uniformi è diverso.

— Robert Krauthgamer
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