Struttura dei dati per i percorsi più brevi

Sia un grafico non orientato non ponderato con vertici e bordi. E 'possibile pre-elaborare e produrre una struttura di dati di dimensioni in modo che possa rispondere alle domande del tipo "a distanza tra e " nel tempo O (n)? $G$ $n$ $m$ $G$ $m \cdot \mathrm{polylog}(n)$ $u$ $v$

Il problema sembra troppo semplice per essere irrisolto.

graph-theory graph-algorithms ds.data-structures

— ilyaraz
fonte

In risposta alla tua osservazione finale su "troppo semplice per essere irrisolto": se alla query deve essere data risposta in un tempo costante, è davvero ben studiata. Ma il punto della tua domanda è che permetti a O (n) il tempo per una query (invece di O (1) o O (m) banale). Sebbene ritenga che sia una domanda interessante, non credo che la questione sia di fondamentale importanza.

— Tsuyoshi Ito,

@TsuyoshiIto - Non vedo perché la domanda perda la sua "importanza fondamentale" se consente tempi di query super costanti ma sub-lineari. Ad esempio, supponiamo che io possa risolvere il problema precedente con il vincolo che le query sulla distanza possono essere risposte in tempo

O (n^{1 - ε})

$O(n^{1-\varepsilon})$ per alcuni

ε > 0

$\varepsilon > 0$ e che il tempo di elaborazione è al massimo

O (n^{3 - ε})

$O(n^{3 - \varepsilon})$ - questo non mi darebbe un algoritmo sub-cubico per il calcolo dei percorsi più brevi? Personalmente penso che questa sia una domanda molto interessante.

— Rachit,

Non so che ci sia un modo generale o meno, ma c'è un buon modo nei grafici a larghezza di albero limitata, vedere la query Percorso più breve nei grafici a larghezza di albero limitata

— Saeed,

Inoltre se

m = Ω (n^{2})

$m = \Omega(n^2)$ è possibile creare alberi di percorso più brevi (a partire da ciascun nodo) e quindi rispondere alla query di percorso più breve (per radice correlata) in

O (n)

$O(n)$ , o in modo analogo, è possibile costruire un dato struttura con dimensioni di memoria inferiori.

— Saeed,

Risposte:

Questa è una domanda molto interessante Ad un livello elevato, ti stai chiedendo se è possibile preelaborare un grafico in modo tale che le query del percorso più breve diventino indipendenti dalla densità del grafico, senza utilizzare molto spazio extra - interessante, ma come dici, irrisolto.

Se sei soddisfatto delle distanze approssimative, ecco un modo per ottenere un'approssimazione . Sia un grafico non orientato ponderato con nodi e bordi. Nel documento seguente viene mostrato che per le query a distanza approssimativa, progettare strutture di dati per grafici con bordi non è più difficile dei grafici in cui ciascun nodo ha un margine limitato da : $2$ $G$ $n$ $m$ $m$ $m/n$

R. Agarwal, PB Godfrey, S. Har-Peled, Query di distanza approssimativa e routing compatto in grafici sparsi, INFOCOM 2011

Quindi, supponiamo che sia un grafico limitato al livello . I nodi campione uniformano casualmente; chiama questi nodi di riferimento. Durante la fase di preelaborazione, memorizzare la distanza tra ciascun nodo di riferimento e l'altro nodo nel grafico; questo richiede spazio. Per ciascun nodo , memorizzare il nodo punto di riferimento più vicino . Inoltre, memorizza il grafico all'interno della struttura dei dati, ad esempio come un elenco di adiacenza. $G$ $m/n$ $\alpha = O(m/n)$ $O(m)$ $u$ $\ell(u)$

Quando viene richiesta la distanza tra e , far crescere le sfere attorno a entrambi i nodi: la sfera del nodo è definita come l'insieme di nodi che sono strettamente più vicini a rispetto al nodo di riferimento più vicino, ad esempio . Si può dimostrare che la dimensione di ogni palla è , in previsione. Sia , dove $u$ $v$ $w$ $w$ $\ell(w)$ $O(n^2/m)$ $\Gamma(u) = B(u) \cup N(B(u))$ è la sfera del nodo e è l'insieme dei vicini di nodi in . Si può dimostrare che la dimensione di è , in previsione. $B(u)$ $u$ $N(B(u))$ $B(u)$ $\Gamma(u)$ $O(n)$

Rispondere alla domanda: se , restituisce ; altrimenti se $\Gamma(u) \cap \Gamma(v) \neq \emptyset$ $\min_{x \in \Gamma(u) \cap \Gamma(v)} \{d(u, x) + d(v, x)\}$ , restituisce ; altrimenti restituisce . È facile dimostrare che si tratta diun'approssimazione di . $d(u, \ell(u)) \leq d(v, \ell(v))$ $d(u, \ell(u)) + d(\ell(u), v)$ $d(v, \ell(v)) + d(\ell(v), u)$ $2$

In termini di tempo di query, notare che le sfere in crescita impiegano il tempo per un grafico limitato a gradi; la costruzione di e date le rispettive sfere richiede tempo (poiché i vicini sono memorizzati nella struttura dei dati); e verificare se è vuoto o meno richiede anche tempo. $O(n)$ $m/n$ $\Gamma(u)$ $\Gamma(v)$ $O(n)$ $\Gamma(u) \cap \Gamma(v)$ $O(n)$

I limiti di cui sopra sono attesi; Penso che sia facile derandomizzare la costruzione. Sfortunatamente, questa tecnica non sembra consentire un'approssimazione migliore di . È una domanda molto interessante però ... $2$

— Rachit
fonte

La tecnica sopra descritta non sfrutta il fatto che il grafico di input non sia ponderato; potrebbe esserci qualcosa di interessante che puoi fare sfruttando quel fatto, ma non riesco a pensare a un modo per recuperare distanze esatte. Ad esempio, è possibile ridurre il tempo di interrogazione a

e ottenere la distanza limitata da

, dove

è la distanza esatta tra

O (n^{2} / m)

$O(n^2/m)$

2 d + 1

$2d+1$

d

$d$

u

$u$

v

$v$

— Rachit,

Mi sono reso conto che non capisco perché si tratta di un'approssimazione 2. Thorup-Zwick nelle stesse situazioni dà 3-ca.

— ilyaraz,

@ilyaraz: Nota che lo schema di Thorup-Zwick non richiede di controllare

(e, quindi, risponde alle domande in un tempo quasi costante). Vedi il documento che ho menzionato sopra per la prova tratto

Γ (u) \cap Γ (v)

$\Gamma(u) \cap \Gamma(v)$

2

$2$

— Rachit,

Ciò di cui hai bisogno è chiamato "oracolo a distanza". Sfortunatamente, non ho molta familiarità con gli oracoli della distanza, quindi posso riferirti solo al documento fondamentale dovuto a Thorup e Zwick:

Mikkel Thorup e Uri Zwick. Oracoli di distanza approssimativa. STOC '01, 2001.

Ecco un estratto dall'estratto:

Sia un grafico ponderato non indirizzato con e . Sia un numero intero. Mostriamo che può essere preelaborato in tempo previsto, costruendo una struttura di dati di dimensione $G = (V, E)$ $|V| = n$ $|E| = m$ $k$ $G = (V, E)$ $O(kmn^{1/k})$ , in modo tale da poter rispondere a qualsiasi domanda di distanza successiva, approssimativamente, nel tempo . La distanza approssimativa restituita è di allungamento al massimo di , ovvero il quoziente ottenuto dividendo la distanza stimata per la distanza effettiva è compreso tra 1 e . [...] Il requisito di spazio del nostro algoritmo è essenzialmente [...] ottimale. $O(kn^{1+1/k})$ $O(k)$ $2k - 1$ $2k - 1$

In base ai loro risultati, ciò che richiedi è fondamentalmente fattibile anche per i grafici ponderati: la scelta di produce un oracolo di distanza di dimensione ottenuto nel tempo previsto , che può rispondere alle domande del percorso più breve con -stretch in volta! $k=1$ $O(n^2)$ $O(mn)$ $1$ $O(1)$

Gli oracoli della distanza sono un campo molto ben studiato, quindi credo che potrai scavare ulteriormente.

— Gabor Retvari
fonte

Versione ufficiale: JACM 2005 .

— Tsuyoshi Ito,

Usando lo spazio

si può ingenuamente memorizzare una tabella di ricerca. Quindi, questo documento (di cui ero a conoscenza) è irrilevante qui.

O (n^{2})

$O(n^2)$

— ilyaraz,

Giusto. Il risultato più vicino a quello che si richiede per quanto ne so è per i grafici con grado medio

che fornisce percorsi di stiro-2 con

lo spazio in

Θ (\log n)

$\Theta(\log n)$

O (n^{3 / 2})

$O(n^{3/2})$

tempo di interrogazione. (R. Agarwal, P. Godfrey e S. Har-Peled, "Query di distanza approssimativa e routing compatto in grafici

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— sparsi

Usando l'incorporamento di metriche di Bourgain in

, si può trovare un oracolo con spazio

, tempo di query

ed errore moltiplicativo

ℓ_{1}

$\ell_1$

O (n \log^{2} n)

$O(n \log^2 n)$

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— ilyaraz,