Rapporto tra simmetria e intrattabilità computazionale?

Il problema dell'automorfismo a virgola fissa con richiede un automorfismo grafico che sposta almeno k ( n ) nodi. Il problema è N P -completo se k ( n ) = n c per qualsiasi $k$$k(n)$$NP$$k(n)=n^c$$c$ > 0.

Tuttavia, se il problema è il tempo polinomiale di Turing riducibile al problema dell'isomorfismo grafico. Se k ( n ) = O ( log n / log log n ), il problema è il tempo polinomiale Turing equivalente al problema del automorfismo grafico che è in N P I e che non è noto essere N P completo. Il problema dell'automorfismo del grafico è Turing riducibile al problema dell'isomorfismo del grafico.$k(n)=O(\log n)$$k(n)=O(\log n/\log \log n)$$NPI$$NP$

Sulla complessità del conteggio del numero di vertici spostati dagli automorfismi del grafico, Antoni Lozano e Vijay Raghavan Foundation of Software Technology, LNCS 1530, pagg. 295–306

Sembra che la durezza computazionale aumenti quando aumentiamo la simmetria dell'oggetto che stiamo cercando di trovare (come indicato dal numero di nodi che devono essere spostati dall'automorfismo). Sembra che ciò possa spiegare la mancanza di tempo polinomiale Riduzione di Turing dalla versione NP completa a Graph Automorphism (GA)

C'è un altro esempio di un problema difficile che supporta questa relazione tra simmetria e durezza?

Questa non è esattamente la "stessa" relazione tra simmetria e durezza, ma esiste una stretta relazione tra le simmetrie di una funzione booleana e la sua complessità circuitale. Vedere:

Babai, L., Beals, R. e Takácsi-Nagy, P. Simmetria e complessità , STOC 1992.

Ecco cosa mostrano. Sia una sequenza di gruppi di permutazione. Sia s ( G i ) indicante il numero di orbite di G i nella sua azione indotta { 0 , 1 } i (per permutazione delle coordinate). Sia F ( G ) la classe di lingue L tale che L ∩ { 0 , 1 } n sia invariante sotto G n . Quindi tutte le lingue in $G_{i} \leq S_{i}$$s(G_{i})$$G_{i}$$\{0,1\}^{i}$$\mathcal{F}(G)$$L$$L \cap \{0,1\}^{n}$$G_{n}$ hanno circuiti di dimensioni al massimo p o $\mathcal{F}(G)$ e la profondità al massimo p o l y ( log ( s ( G ) ) , e questo è essenzialmente stretto.$poly(s(G))$$poly(\log(s(G))$

In direzione opposta, diversi problemi cui set testimone un sacco di simmetrie finiscono per essere in c o A M (come G I ), e quindi non sono N P -complete meno P H collassa. In effetti, il seguente documento mostra che i problemi di N P i cui gruppi di testimoni hanno molte simmetrie sono bassi per P P :$NP$$coAM$$GI$$NP$$PH$$NP$$PP$

Arvind, V., Vinodchandran, NV La complessità di conteggio delle lingue definibili dal gruppo . Theoret. Comput. Sci. 242 (2000), n. 1-2, 199--218.

$PP$$NP$$PP^{PH} \subseteq BP \cdot PP$$BP \cdot PP = PP$$NP$$PP$$PP$$NP$$NP$ non è basso per $PP$

$f$$f(x) = f(y)$ iff $x \sim y$), then any $NP$ problem whose witnesses have lots of symmetries reduces to the hidden subgroup problem for the automorphism group of its witnesses. Admittedly, the hypothesis here is rather unlikely to hold, but it does give some connection between symmetry and quantum complexity.

Finally, the Mulmuley-Sohoni Geomectric Complexity Theory program is essentially about using symmetry to prove hardness, though the symmetry-hardness connection there is more subtle and less direct.

Structured SAT instances, which do exhibit lots of symmetries, seem easier to solve than random SAT instances. Encoding real world problems into SAT always gives raise to structured instances (which is not surprising, since the real world problems we face do have symmetries). The best complete SAT solvers are able to efficiently solve real world instances with as many as 1,000,000 variables, but none of them, as far as I know, is able to efficiently solve random instances with, say, 10,000 variables (on Edward A. Hirsch homepage it's possible to find some surprisingly small random instances, against which even the best complete SAT solvers get stucked). Thus, from an empirical point of view, the presence of symmetries seems to diminish the hardness.