Qual è la migliore approssimazione per il voto a maggioranza?

L'operazione di voto a maggioranza si presenta abbastanza spesso in tolleranza agli errori (e senza dubbio in altri posti), in cui la funzione genera un bit uguale al valore mai visualizzato più frequentemente nel valore dei bit di ingresso. Per semplicità, supponiamo che ogni volta che l'ingresso contiene un numero uguale di bit nello stato 0 e nello stato 1, emette 0.

Questo può essere generalizzato in punti in cui vi sono più di 2 possibilità per ciascun input restituendo il valore che si verifica più frequentemente nell'input e, nel caso di un pareggio, restituendo il valore più frequente che viene prima lessicograficamente. Chiamiamo questa funzione "voto di pluralità".

Sono interessato all'output di tale funzione quando ogni input ha una distribuzione di probabilità fissa (e la distribuzione è la stessa per ogni dit nell'input). In particolare mi interessa la seguente domanda.

Dato un insieme $S=\{S_1, S_2,... ,S_n\}$ , se l'insieme viene campionato in modo indipendente $N$ volte casualmente , con probabilità $p_i$ di scegliere ogni volta l' elemento $i^{th}$ di $S$ , per una scelta fissa di $v$ qual è la probabilità che il voto di pluralità di queste uscite $S_v$ ?

Ora, è semplice calcolare la risposta esatta alla domanda precedente come somma delle distribuzioni multinomiali. Tuttavia, per i miei scopi, questo è tutt'altro che ideale e sarebbe meglio chiudere per un ravvicinamento. Quindi la mia domanda è:

Quale approssimazione in forma chiusa rispetto alla probabilità di cui sopra ha il limite più stretto sulla distanza massima dal valore esatto?

co.combinatorics

— Joe Fitzsimons
fonte

Non lo so, ma suggerirei la frase di ricerca "consenso della teoria del controllo" o "problema del consenso della teoria del controllo". È un problema diverso dal problema del consenso di calcolo distribuito e potrebbe essere quello di cui hai bisogno.

— Aaron Sterling,

Stai cercando un'approssimazione che funzioni bene quando N è grande rispetto a n? In tal caso, la regola del pareggio deve essere irrilevante.

— Tsuyoshi Ito,

@TsuyoshiIto: Sì, lo sono, e infatti quella regola è irrilevante, ma volevo assicurarmi che la domanda fosse ben formulata. Non mi interessa davvero come si rompono i legami, poiché è facile colmare questa discrepanza.

— Joe Fitzsimons,

Bene, qui è di nuovo della stima busta ... Sia

sia il numero di volte in cui si sceglie il set

. Questa è una variabile binomiale. Fai finta che siano indipendenti. Ora, per un valore fisso di

, è possibile calcolare la probabilità di ottenere questo valore di

e per questo valore calcolare la probabilità che vince su tutte le altre variabili. Questo dovrebbe dare dei limiti piuttosto buoni alla probabilità. Ovviamente non sono i più stretti: maggiore è la dipendenza che si desidera prendere in considerazione, più precisa sarà la stima, ma maggiore sarà il calcolo che si dovrà fare.

Y_{i}

$Y_i$

S_{i}

$S_i$

Y_{v}

$Y_v$

Y_{v}

$Y_v$

— Sariel Har-Peled,

Se per tutti , allora $p_v > p_i$ $i \ne v$

P r [outcome is different from v] \leq min_{T} (P r [B (N, p_{v}) \leq T] + P r [\forall i \neq v B (N, p_{i}) \geq T]),

$\mathrm{Pr}[\mbox{outcome is different from $v$}] \leq \min_T \left(Pr[B(N, p_v) \leq T] + Pr[\forall i \ne v \quad B(N, p_i) \geq T]\right),$

$B(n, p)$ $T$ $T = N (p_v + \max_{i \ne v} p_v) / 2$ $e^{-\Omega(N)}$

$p_v$ $v$

— ilyaraz
fonte

Grazie per aver pensato al problema, ma non è quello che sto cercando. Non è una forma chiusa. Avrei bisogno di sommare un numero illimitato di esponenziali. So già come scrivere la soluzione esatta e conosco molte approssimazioni per singoli termini, ma non è quello che voglio. Sto cercando un'approssimazione in forma chiusa alla soluzione, non a termini individuali. Ho anche bisogno di un limite decente all'errore.

— Joe Fitzsimons,

n

$n$

@ilyaraz Sto cercando di capire la tua prima disequazione. Puoi spiegarmi meglio perché è valido? Penso che tu abbia usato l'unione in qualche modo ma non riesco a capire. Grazie :)

— Antonio Fa