Esempi di giocattoli per barriere a

Esistono esempi di giocattoli che forniscono approfondimenti "essenziali" per comprendere le tre barriere note al problema $P = NP$ : relativizzazione, prove naturali e algebrizzazione?

Vorrei fare un esempio giocattolo della barriera di relativizzazione. L'esempio canonico è il teorema della gerarchia temporale che . La prova (da diagonalizzazione) è solo leggermente più complicata rispetto alla prova che il problema della terminazione è indecidibile: definiamo un algoritmo A ( x ) che simula il x ° algoritmo A x sull'ingresso direttamente passo-per-passo per${\bf TIME}[t(n)] \subsetneq {\bf TIME}[t(n)^2]$$A(x)$$x$$A_x$t ( | x | ) A t ( | x | ) $x$$t(|x|)$passi, quindi genera il valore opposto. Quindi sosteniamo che può essere implementato per essere eseguito in volta.$A$$t(|x|)^2$

L'argomento funziona ugualmente bene se forniamo a tutti gli algoritmi l'accesso a un set di oracoli arbitrario , a cui supponiamo di poter fare domande di appartenenza, in una fase del calcolo. Una simulazione passo-per-passo può anche essere effettuata da , fintanto ha accesso alla oracolo troppo. Nella notazione, abbiamo per tutti oracoli . In altre parole, la gerarchia temporale si relativizza .$O$$A_x^O$$A$$A$$O$${\bf TIME}^O[t(n)] \subsetneq {\bf TIME}^O[t(n)^2]$$O$

Possiamo definire oracoli per macchine non deterministiche in modo naturale, quindi ha senso definire le classi e rispetto agli oracoli. Ma ci sono oracoli e rispetto ai quali e , quindi questo tipo di argomento di simulazione diretta nel teorema della gerarchia temporale non funzionerà per risolvere contro . Gli argomenti di relativizzazione sono potenti in quanto sono ampiamente applicabili e hanno portato a molte grandi intuizioni; ma questo stesso potere li rende "deboli" rispetto a domande come contro . N P O O O ′ P O = N P O P O ′ ≠ N P O ′ P N P P N $P^O$$NP^O$$O$$O'$$P^O = NP^O$$P^{O'} \neq NP^{O'}$$P$$NP$$P$$NP$

Quanto sopra è, ovviamente, un esempio di giocattolo - ci sono molti altri esempi più complicati di argomenti in complessità che ancora relativizzano (cioè, reggono quando vengono introdotti oracoli arbitrari).