Distanze di calcolo con approssimazione inferiore a 2 nei grafici generali?


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Dato un grafico non orientato ponderato con bordi , vorrei calcolare distanze di approssimazione inferiori a 2 tra una data coppia di vertici. Naturalmente, vorrei utilizzare lo spazio subquadratico e il tempo di query sublineare.m=o(n2)

Sono a conoscenza del risultato di Zwick che utilizza la moltiplicazione di matrici, ma sono curioso di sapere se per questo problema sono noti algoritmi combinatori?


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Ciao @Siddhartha, mi dispiace se questa è una domanda stupida: il risultato di Zwick sembra usare lo spazio quadratico, è corretto?
Hsien-Chih Chang 張顯 之

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Inoltre, è ammesso un errore aggiuntivo?
Hsien-Chih Chang 張顯 之

@ Hsien-ChihChang 張顯 之 - Ero interessato ai risultati solo sull'approssimazione moltiplicativa. Il caso dell'approssimazione additiva può essere interessante di per sé - più facile per i grafici densi, immagino. Si può usare una chiave inglese e ottenere un'approssimazione additiva per grafici abbastanza densi. Per i grafici sparsi, per quanto ne so, le chiavi non sarebbero d'aiuto.
Siddhartha,

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Gnm12Ω(m)log2(Nm)N=(n2)mlog2(N/m)

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Grazie Sariel - potrebbe essere possibile derivare un limite inferiore di ma sto bene. Tutto quello che vorrei avere è spazio subquadratico e tempo di query sublineare. Per i grafici con i bordi , il limite inferiore non dice nulla per il problema - giusto? Ω(m)m=o(n2)Ω(m)
Siddhartha,

Risposte:


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Per quanto ne so, non ci sono risultati pubblicati su distanze di approssimazione di calcolo inferiori a 2 nello spazio subquadratico e nel tempo di query sublineare. Per recuperare rapidamente le distanze approssimative, potresti voler esaminare i risultati e i riferimenti in "Algoritmi più veloci per tutte le coppie di percorsi più brevi approssimativi" di Baswana e Kavitha (la versione del diario del loro documento FOCS ha una buona recensione del lavoro correlato); nessuno di questi raggiunge uno spazio subquadratico.

Per recuperare in modo compatto distanze approssimative, potresti voler esaminare i risultati e i riferimenti nei due documenti precedenti. [Come aggiunta alla risposta di Gabor, un avvertimento: fai attenzione alla nozione di scarsità nei precedenti documenti - per l'approssimazione , si dice che un grafico è scarso se , come tu probabilmente già lo so].2m=o(n2)

Come ha sottolineato Sariel in uno dei commenti sopra, un limite inferiore naturale allo spazio per calcolare distanze di approssimazione inferiori a è , cioè lineare nella dimensione del grafico. Se il tempo della query non è limitato, questo limite inferiore non può essere migliorato (banalmente, è possibile utilizzare l'algoritmo del percorso più breve semplicemente memorizzando il grafico). Per tempo di interrogazione costante, conosco due limiti inferiori. In primo luogo, Patrascu e Roddity avevano alcuni limiti inferiori condizionali nel loro documento FOCS 2010 che si applicano per un'approssimazione inferiore a . In secondo luogo, Sommer et. al. aveva alcuni limiti inferiori per i grafici estremamente sparsi. Non sono a conoscenza di altri limiti inferiori (non banali).2Ω(m)2

In termini di limiti superiori, i risultati di cui sopra non sembrano generalizzare ad approssimazioni inferiori a . Di recente abbiamo compiuto alcuni progressi su questo problema. Il documento dovrebbe essere presto su ArXiv, ma se vuoi, mandami una e-mail e sarò felice di condividere il documento.2

Spero che questo ti aiuti.

~ Rachit Agarwal


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Potresti essere interessato al documento INFOCOM del 2011 di Rachit Agarwal:

Rachit Agarwal, P. Brighten Godfrey, Sariel Har-Peled Query di distanza approssimativa e routing compatto in grafici sparsi, IEEE INFOCOM 2011

Dall'abstract:

[Per un] grafico con grado medio , casi speciali delle nostre strutture di dati recuperano tratti di tratto 2 con spazio [...] al costo di tempo di query.Θ(logn)O(n3/2)O(n)

Si noti che il loro oracolo di distanza è solo per grafici sparsi, ma il limite logaritmico sembra plausibile. Aggiunto bonus, l'algoritmo funziona anche per i grafici ponderati.


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Potresti anche dare un'occhiata

Pătraşcu, Roditty, Distance Oracles Beyond the Thorup - Zwick Bound , FOCS 2010

Hanno un oracolo di distanza di dimensione con tratto 2. Supporta query in tempo costante.O(n5/3)


Grazie! Il documento di Agrawal e Mihai non sembra dire nulla sull'approssimazione "meno di" 2, a meno che non mi sia perso qualcosa.
Siddhartha,

Non lo è, ma potrebbe darti un'idea su come ottenere un compromesso per migliorare il tratto.
zotachidil,
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