Distanze di calcolo con approssimazione inferiore a 2 nei grafici generali?

Dato un grafico non orientato ponderato con bordi , vorrei calcolare distanze di approssimazione inferiori a 2 tra una data coppia di vertici. Naturalmente, vorrei utilizzare lo spazio subquadratico e il tempo di query sublineare. $m = o(n^2)$

Sono a conoscenza del risultato di Zwick che utilizza la moltiplicazione di matrici, ma sono curioso di sapere se per questo problema sono noti algoritmi combinatori?

ds.algorithms graph-algorithms

— Siddhartha
fonte

Ciao @Siddhartha, mi dispiace se questa è una domanda stupida: il risultato di Zwick sembra usare lo spazio quadratico, è corretto?

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Inoltre, è ammesso un errore aggiuntivo?

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-ChihChang 張顯之 - Ero interessato ai risultati solo sull'approssimazione moltiplicativa. Il caso dell'approssimazione additiva può essere interessante di per sé - più facile per i grafici densi, immagino. Si può usare una chiave inglese e ottenere un'approssimazione additiva per grafici abbastanza densi. Per i grafici sparsi, per quanto ne so, le chiavi non sarebbero d'aiuto.

— Siddhartha,

G

$G$

n

$n$

m

$m$

1

$1$

2

$2$

Ω (m)

$\Omega(m)$

\log_{2} (\binom{N}{m})

$\log_2 \binom{N}{m}$

N = (\binom{n}{2})

$N=\binom{n}{2}$

\geq m \log_{2} (N / m)

$\geq m \log_2 (N/m)$

Grazie Sariel - potrebbe essere possibile derivare un limite inferiore di ma sto bene. Tutto quello che vorrei avere è spazio subquadratico e tempo di query sublineare. Per i grafici con i bordi , il limite inferiore non dice nulla per il problema - giusto?

Ω (m)

$\Omega(m)$

m = o (n^{2})

$m = o(n^2)$

Ω (m)

$\Omega(m)$

— Siddhartha,

Risposte:

Per quanto ne so, non ci sono risultati pubblicati su distanze di approssimazione di calcolo inferiori a 2 nello spazio subquadratico e nel tempo di query sublineare. Per recuperare rapidamente le distanze approssimative, potresti voler esaminare i risultati e i riferimenti in "Algoritmi più veloci per tutte le coppie di percorsi più brevi approssimativi" di Baswana e Kavitha (la versione del diario del loro documento FOCS ha una buona recensione del lavoro correlato); nessuno di questi raggiunge uno spazio subquadratico.

Per recuperare in modo compatto distanze approssimative, potresti voler esaminare i risultati e i riferimenti nei due documenti precedenti. [Come aggiunta alla risposta di Gabor, un avvertimento: fai attenzione alla nozione di scarsità nei precedenti documenti - per l'approssimazione , si dice che un grafico è scarso se , come tu probabilmente già lo so]. $2$ $m = o(n^2)$

Come ha sottolineato Sariel in uno dei commenti sopra, un limite inferiore naturale allo spazio per calcolare distanze di approssimazione inferiori a è , cioè lineare nella dimensione del grafico. Se il tempo della query non è limitato, questo limite inferiore non può essere migliorato (banalmente, è possibile utilizzare l'algoritmo del percorso più breve semplicemente memorizzando il grafico). Per tempo di interrogazione costante, conosco due limiti inferiori. In primo luogo, Patrascu e Roddity avevano alcuni limiti inferiori condizionali nel loro documento FOCS 2010 che si applicano per un'approssimazione inferiore a . In secondo luogo, Sommer et. al. aveva alcuni limiti inferiori per i grafici estremamente sparsi. Non sono a conoscenza di altri limiti inferiori (non banali). $2$ $\Omega(m)$ $2$

In termini di limiti superiori, i risultati di cui sopra non sembrano generalizzare ad approssimazioni inferiori a . Di recente abbiamo compiuto alcuni progressi su questo problema. Il documento dovrebbe essere presto su ArXiv, ma se vuoi, mandami una e-mail e sarò felice di condividere il documento. $2$

Spero che questo ti aiuti.

~ Rachit Agarwal

— Rachit
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Potresti essere interessato al documento INFOCOM del 2011 di Rachit Agarwal:

Rachit Agarwal, P. Brighten Godfrey, Sariel Har-Peled Query di distanza approssimativa e routing compatto in grafici sparsi, IEEE INFOCOM 2011

Dall'abstract:

[Per un] grafico con grado medio , casi speciali delle nostre strutture di dati recuperano tratti di tratto 2 con spazio [...] al costo di tempo di query. $\Theta(\log n)$ $O(n^{3/2})$ $O(\sqrt{n})$

Si noti che il loro oracolo di distanza è solo per grafici sparsi, ma il limite logaritmico sembra plausibile. Aggiunto bonus, l'algoritmo funziona anche per i grafici ponderati.

— Gabor Retvari
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Potresti anche dare un'occhiata

Pătraşcu, Roditty, Distance Oracles Beyond the Thorup - Zwick Bound , FOCS 2010

Hanno un oracolo di distanza di dimensione con tratto 2. Supporta query in tempo costante. $O(n^{5/3})$

— zotachidil
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Grazie! Il documento di Agrawal e Mihai non sembra dire nulla sull'approssimazione "meno di" 2, a meno che non mi sia perso qualcosa.

— Siddhartha,

Non lo è, ma potrebbe darti un'idea su come ottenere un compromesso per migliorare il tratto.

— zotachidil,