Grafico regolare ad alta circonferenza con un ordine totale "localmente uniforme" sui nodi


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definizioni

Lascia che e che , e siano numeri interi positivi (con ).d r g g > 2 r + 1ϵ>0drgg>2r+1

Sia un grafico finito semplice, regolare, non orientato, con circonferenza di almeno .d gG=(V,E)dg

Let essere un ordine totale .VV

Per ogni , lascia che costituito dai nodi che si trovano alla distanza da in (il percorso più breve da a qualsiasi ha al massimo bordi) e che sia il sottografo di indotto da . Ricordiamo che abbiamo ipotizzato che abbia una circonferenza elevata; quindi è un albero. Sia la limitazione di a .V vV r v G v u V v r G v G V v G G v vV vvVVvVrvGvuVvrGvGVvGGvvVv

Diciamo che un bordo è buono se e sono isomorfi. Cioè, esiste una biiezione che preserva le adiacenze ( iff ) e order ( iff ). Altrimenti un vantaggio è negativo .( G u , u ) ( G v , v ) f : V uV v { x , y } E { f ( x ) , f ( y ) } E x y f ( x ) f ( y ){u,v}E(Gu,u)(Gv,v)f:VuVv{x,y}E{f(x),f(y)}Exyf(x)f(y)

Diciamo che è -good se ci sono almenobuoni bordi.ϵ ( 1 - ϵ ) | E |(G,)ϵ(1ϵ)|E|

Domanda

Lascia . Esiste una coppia -good per qualsiasi e qualsiasi & (con )?ϵ ( G , ) ϵ > 0 r g r gd=4ϵ(G,)ϵ>0rgrg

Osservazioni:

  • Vorrei sapere la risposta per un generale , ma è il primo caso non banale.d = 4dd=4

  • La dimensione di non ha importanza, purché sia ​​finita. Non ho bisogno di una costruzione di ; la sola esistenza o non esistenza è sufficiente.GGG

Esempi

  • Se , la risposta è "sì". Possiamo semplicemente prendere un ciclo sufficientemente lungo e ordinare i nodi lungo il ciclo. Ci sono alcuni bordi cattivi vicino al bordo che unisce il nodo più grande e quello più piccolo, ma tutti gli altri bordi sono buoni: per quasi tutti i nodi , la coppia è solo un percorso con nodi in modo crescente ordine.v ( G v , v ) 2 r + 1d=2v(Gv,v)2r+1

  • Se , la risposta è "sì". Basta prendere un grafico ad alta circonferenza regolare.r=0

  • Se è sufficientemente piccolo, la risposta è "sì" per ogni pari . Basta prendere un grafico a griglia tridimensionale (con i contorni avvolti per renderlo -regolare) e ordinare i nodi lessicograficamente in base alle loro coordinate. Ancora una volta abbiamo dei bordi cattivi vicino ai confini della griglia, ma possiamo rendere arbitrariamente piccolo il numero dei bordi cattivi.d ( d / 2 ) dgd(d/2)d

  • Se non ha bisogno di essere finito, la risposta è "sì" per qualsiasi . Un albero infinito regolare ha un ordine totale tale che tutti i bordi sono buoni.dGd

  • Se è dispari e è sufficientemente grande, la risposta è "no". In sostanza, Naor & Stockmeyer (1995) mostrano che ogni nodo è incidente con almeno un vantaggio non buono.rdr

sfondo

(Questa sezione può essere ignorata in modo sicuro.)

La domanda è collegata alle basi del calcolo distribuito, e in particolare agli algoritmi locali .

Ciò che vorremmo capire è il seguente: in quali situazioni l'esistenza di un ordine totale aiuta a rompere la simmetria locale in un sistema distribuito. Intuitivamente, ogni nodo di deve produrre un output che è una funzione di , cioè una funzione del vicinato locale di . Se un bordo è errato, ci sono alcune informazioni locali sulla rottura della simmetria disponibili vicino a e i nodi e possono produrre output diversi; se il bordo è buono, i nodi e sono localmente indistinguibili e devono produrre lo stesso output.G ( G v , v ) v e = { u , v } e u v u vvG(Gv,v)ve={u,v}euvuv

Per molti problemi di grafici classici è noto che un ordine totale non aiuta (relazioni molto più deboli forniscono essenzialmente la stessa quantità di informazioni sulla rottura della simmetria), ma alcuni casi sono ancora aperti - e un risultato generale che copre il caso di tutti i i grafici di circonferenza potrebbero essere una svolta.

(G,)

VvV(v)N

Risposte:


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