Grafico regolare ad alta circonferenza con un ordine totale "localmente uniforme" sui nodi

definizioni

Lascia che e che , e siano numeri interi positivi (con ).d r g g > 2 r + $\epsilon > 0$$d$$r$$g$$g > 2r+1$

Sia un grafico finito semplice, regolare, non orientato, con circonferenza di almeno .d $G = (V,E)$$d$$g$

Let essere un ordine totale .$\le$$V$

Per ogni , lascia che costituito dai nodi che si trovano alla distanza da in (il percorso più breve da a qualsiasi ha al massimo bordi) e che sia il sottografo di indotto da . Ricordiamo che abbiamo ipotizzato che abbia una circonferenza elevata; quindi è un albero. Sia la limitazione di a .V v ⊆ V r v G v u ∈ V v r G v G V v G G v ≤ v ≤ V $v \in V$$V_v \subseteq V$$r$$v$$G$$v$$u \in V_v$$r$$G_v$$G$$V_v$$G$$G_v$$\le_v$$\le$$V_v$

Diciamo che un bordo è buono se e sono isomorfi. Cioè, esiste una biiezione che preserva le adiacenze ( iff ) e order ( iff ). Altrimenti un vantaggio è negativo .( G u , ≤ u ) ( G v , ≤ v ) f : V u → V v { x , y } ∈ E { f ( x ) , f ( y ) } ∈ E x ≤ y f ( x ) ≤ f ( y $\{u,v\} \in E$$(G_u,\le_u)$$(G_v,\le_v)$$f\colon V_u \to V_v$$\{x,y\} \in E$$\{f(x),f(y)\} \in E$$x \le y$$f(x) \le f(y)$

Diciamo che è -good se ci sono almenobuoni bordi.ϵ ( 1 - ϵ ) | E $(G,\le)$$\epsilon$$(1-\epsilon)|E|$

Domanda

Lascia . Esiste una coppia -good per qualsiasi e qualsiasi & (con )?ϵ ( G , ≤ ) ϵ > 0 r g r ≪ $d = 4$$\epsilon$$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$r \ll g$

Osservazioni:

• Vorrei sapere la risposta per un generale , ma è il primo caso non banale.d = $d$$d = 4$

• La dimensione di non ha importanza, purché sia ​​finita. Non ho bisogno di una costruzione di ; la sola esistenza o non esistenza è sufficiente.$G$$G$

Esempi

• Se , la risposta è "sì". Possiamo semplicemente prendere un ciclo sufficientemente lungo e ordinare i nodi lungo il ciclo. Ci sono alcuni bordi cattivi vicino al bordo che unisce il nodo più grande e quello più piccolo, ma tutti gli altri bordi sono buoni: per quasi tutti i nodi , la coppia è solo un percorso con nodi in modo crescente ordine.v ( G v , ≤ v ) 2 r + $d = 2$$v$$(G_v,\le_v)$$2r+1$

• Se , la risposta è "sì". Basta prendere un grafico ad alta circonferenza regolare.$r = 0$

• Se è sufficientemente piccolo, la risposta è "sì" per ogni pari . Basta prendere un grafico a griglia tridimensionale (con i contorni avvolti per renderlo -regolare) e ordinare i nodi lessicograficamente in base alle loro coordinate. Ancora una volta abbiamo dei bordi cattivi vicino ai confini della griglia, ma possiamo rendere arbitrariamente piccolo il numero dei bordi cattivi.d ( d / 2 ) $g$$d$$(d/2)$$d$

• Se non ha bisogno di essere finito, la risposta è "sì" per qualsiasi . Un albero infinito regolare ha un ordine totale tale che tutti i bordi sono buoni.$G$$d$

• Se è dispari e è sufficientemente grande, la risposta è "no". In sostanza, Naor & Stockmeyer (1995) mostrano che ogni nodo è incidente con almeno un vantaggio non buono.$d$$r$

sfondo

(Questa sezione può essere ignorata in modo sicuro.)

La domanda è collegata alle basi del calcolo distribuito, e in particolare agli algoritmi locali .

Ciò che vorremmo capire è il seguente: in quali situazioni l'esistenza di un ordine totale aiuta a rompere la simmetria locale in un sistema distribuito. Intuitivamente, ogni nodo di deve produrre un output che è una funzione di , cioè una funzione del vicinato locale di . Se un bordo è errato, ci sono alcune informazioni locali sulla rottura della simmetria disponibili vicino a e i nodi e possono produrre output diversi; se il bordo è buono, i nodi e sono localmente indistinguibili e devono produrre lo stesso output.G ( G v , ≤ v ) v e = { u , v } e u v u $v$$G$$(G_v,\le_v)$$v$$e = \{u,v\}$$e$$u$$v$$u$$v$

Per molti problemi di grafici classici è noto che un ordine totale non aiuta (relazioni molto più deboli forniscono essenzialmente la stessa quantità di informazioni sulla rottura della simmetria), ma alcuni casi sono ancora aperti - e un risultato generale che copre il caso di tutti i i grafici di circonferenza potrebbero essere una svolta.

$(G,\le)$

$V$$v \in V$$\ell(v) \in \mathbb{N}$

$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$d$

Per i dettagli, consultare arXiv: 1201.6675 .