Estrarre esempi dalla teoria del linguaggio formale

Sto imparando la teoria algebrica dell'analisi. Il mio primo problema è identificare esempi di semiring specifici della teoria del linguaggio formale. Ecco un tentativo di costruire due esempi.

1 Data la grammatica CNF, gli elementi del semiring sono insiemi di simboli terminali e non terminali con le operazioni:

i) Moltiplicazione , unendo i due insiemi in coppia secondo la regola CYK. Ad esempio data la grammatica del CNF

s: p p | q r
t: p q
u: q q

poi

$\{p,q,r\}\otimes \{p,r\} = \{s,t\}$

ii) L' aggiunta è un sindacato impostato, ad es

$\{p,q\}\oplus \{q,r\} = \{p,q,r\}$

Sfortunatamente, la moltiplicazione non è associativa.

2 Gli elementi del secondo semiring sono insiemi non di simboli ma di regole grammaticali [non necessariamente in CNF] modificate con posizione. Le operazioni sono

i) Moltiplicazione , unendo tutte le coppie di elementi corrispondenti secondo la regola completa di Earley. Ad esempio data la grammatica del CNF

s: p q r 
r: s t | u

poi

$\{s: p \bullet q r,s: p q \bullet r\}\otimes \{r: u \bullet \} = \{s: p q r \bullet \}$

ii) L' aggiunta è di nuovo l'unione impostata, ad es

$\{s: p \bullet q r, r: \bullet s t\}\oplus \{r: u \bullet \} = \{s: p \bullet q r, r: \bullet s t, r: u \bullet\}$

Anche questo esempio è carente.

Seminare con elementi che sono insiemi di regole grammaticali e la moltiplicazione come sostituzione delle regole sembra funzionare bene. Tuttavia, questa è solo algebra di relazione sotto mentite spoglie. In effetti, consideriamo ciascuna regola grammaticale come una classe di equivalenza - un insieme di coppie di parole costituite da lettere terminali e non terminali correlate dall'applicazione della regola, ad es.

$[t : s a] = \{ (t,sa),(ta,saa),(bt,bsa),(abt,absa),... \}$

Quindi, il riconoscimento di una parola in una grammatica è una catena di composizioni relazionali, ad es

$[t:sa] \otimes [s:aa] \otimes \{(aaa,aaa)\} = \{(t,aaa)\}$

(Questo monomio ricorda il polinomio semerario del parser dalla tesi di dottorato di Josh Goodman; tuttavia, lasciate che ribadisca che costruire nuovi semirings prendendo polinomi e matrici non è di nostro interesse qui).

$\Sigma$

Ci sono molte semine relative alla teoria del linguaggio. Prima di tutto, il semina booleana. Successivamente, qualsiasi classe di lingue chiuse sotto unione finita e (concatenazione) del prodotto è un sottomarino del semiring di tutte le lingue. Ad esempio le lingue razionali (= regolari) formano un semiring. Vedi anche la nozione correlata dell'algebra di Kleene .

$k \times k$$\{-\infty, 0, 1\}$

$(\mathbb{N} \cup \{+\infty\}, \min, +)$$(\mathbb{N} \cup \{-\infty\}, \max, +)$

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Penso che puoi inventare più semi-ring con le regole di Earley. Prendi previsione. È possibile formare l'operatore binario , k) $ in modo tale che l'unione si trovi su tutte le regole pertinenti esistenti. Quindi l'algoritmo calcola prima il primo stato Earley impostato come un prodotto infinito ma eventualmente ripetuto (così finito) nell'operatore:$S\otimes_{p,k} T = S \cup \bigcup (Y: \bullet \gamma$

$S(0) = \bigotimes_{p,0}^{\infty} S_0(0)$ . Non so se questo forma un semi-anello con unione però. Forse forma anche relazioni con altre operazioni.