Teorema della gerarchia per i rapporti di approssimazione?

Come è noto, i problemi di ottimizzazione NP-hard possono avere molti diversi rapporti di approssimazione, che vanno dall'avere un PTAS al non essere approssimabili in nessun fattore. Nel mezzo, abbiamo varie costanti, , , ecc. $O(\log n)$ $poly(n)$

Cosa si sa sull'insieme dei possibili rapporti? Possiamo provare una sorta di "gerarchia di approssimazione"? Formalmente, per quali funzioni e possiamo dimostrare che esiste un problema con il rapporto di approssimazione ? $f(n)$ $g(n)$ $f(n)\leq \alpha < g(n)$

Nel caso in cui , esiste un problema con il rapporto di approssimazione esattamente ? $\alpha=O(1)$ $\alpha$

cc.complexity-theory approximation-hardness

— Jeremy Hurwitz
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Una dimostrazione di tale teorema somiglia probabilmente a saggezza.weizmann.ac.il/~oded/p_testHT.html . Dato un problema con il limite di approssimazione noto

, rendiamo il problema "più facile" in qualche modo, presumibilmente usando una qualche forma di riempimento, per ottenere un problema con il limite di approssimazione

α

$\alpha$

f (α)

$f(\alpha)$

— Jeremy Hurwitz il

non sono costanti.

O (\log n)

$O(\log n)$

p o l y (n)

$poly(n)$

— Tyson Williams,

@TysonWilliams: Penso che intendesse dire che tra PTAS e nessuna approssimazione ci sono costanti, log e poly (n) ecc.

— Suresh Venkat,

Non avresti bisogno di escludere trasformazioni banali in cui un'approssimazione

per minimizzare f immediatamente è un

α

$\alpha$

approssimazione per minimizzare

\sqrt{α}

$\sqrt{\alpha}$

\sqrt{f}

$\sqrt{f}$

— Suresh Venkat,

Per quanto riguarda la tua ultima domanda su α = O (1), è stato mostrato il limite stretto per molti problemi come l'imballaggio del cestino, la pianificazione della macchina (iris.gmu.edu/~khoffman/papers/set_covering.html)

— Gopi

Risposte:

Esiste una gerarchia di approssimazione, i principali esempi noti: FPTAS EPTAS PTAS APX . Ma per inapprossimabilità c'è anche NPO-PB . $\subseteq$ $\subseteq$ $\subseteq$

Ci sono molti risultati sull'insieme dei possibili rapporti, che vanno da risultati come questo:

EPTAS FPTAS, a meno che , $P||C_{max} \in$ $\backslash$ $P=NP$

alla definizione di problemi APX / NPO-PB-hard.

Alcuni riferimenti:

SU PTAS: M. Cesati e L. Trevisan. Sull'efficienza degli schemi di approssimazione temporale polinomiale, 1997.
Su NPOPB: V. Kann. Forti limiti inferiori sull'approssimabilità di alcuni problemi di massimizzazione dell'NPO PB-complete

Ma suggerisco che la cosa migliore sarà controllare lo zoo di complessità perché contiene molte più informazioni e riferimenti su quegli esempi, persino Wikipedia

$\alpha=O(1)$

— Gopi
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Penso ancora che il commento di Suresh sotto la domanda sia sufficiente per dimostrare che qualsiasi rapporto è possibile. Se non ne sei convinto, puoi esaminare i problemi di soddisfazione dei vincoli booleani (CSP), ad esempio.

$P: \{0,1\}^k \to \{0,1\}$ $k$ $n \gg k$ $x_1, \ldots, x_n$ $m$ $P(\lambda_1, \ldots, \lambda_k)$ $\lambda_i$ $3SAT$ $P(x_1, x_2, x_3) = x_1 \lor x_2 \lor x_3$ $\rho(P)$ $2^k$ $P$ $3SAT$ $7/8$ $\rho(P)$ $P$ $\rho(P)$ $\rho(P)+\epsilon$ $\epsilon > 0$

$\rho(P)$ $P$ $\rho(P)$ $P$

Per Austrin e Johan Håstad, Indipendenza e resistenza supportate casualmente, SIAM Journal on Computing, vol. 40, n. 1, pagg. 1-27, 2011.

$\alpha$ $\alpha' \leq \alpha$ $\rho(P) = \alpha'$

— MCH
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