Trovare percorsi min-max vertici-disgiunti con una fonte comune su grafici planari

Dato un grafico planare non ponderato e una raccolta di coppie di vertici ( è una costante), trova percorsi disgiunti vertice (tranne la sorgente) da a tale che la lunghezza del percorso più lungo sia ridotta al minimo. $(s,t_1),\dots,(s,t_k)$ $k\ge2$ $k$ $s$ $t_i$

Domanda: esiste un algoritmo a tempo polinomiale per il problema?

Alcuni risultati correlati:

se non è risolto il problema è NP-difficile anche se ; $k$ $t_1=\dots=t_k$
se il grafico di input è ponderato e le fonti dei percorsi non coincidono, ovvero i percorsi sono il problema è NP-difficile anche per ; $(s_1,t_1),\dots,(s_k,t_k)$ $k=2$
è un problema con obiettivo diverso, vale a dire minimizzare la somma delle lunghezze del percorso
- risolvibile con l'algoritmo del flusso di costo minimo per fonti coincidenti;
- NP-difficile per fonti non coincidenti e generale ; $k$
- aperto per fonti non coincidenti e costante . $k$

ds.algorithms graph-algorithms

— Sergey Pupyrev
fonte

Sembra che ci siano molti risultati correlati. Puoi riassumere importanti risultati correlati nella domanda?

— Tsuyoshi Ito,

Il grafico di input è ponderato G (ovvero, ogni fronte ha una lunghezza intera positiva)? Avevo supposto che G non fosse ponderato, ma mi sono reso conto che probabilmente stai mescolando le due impostazioni: (1) Se G è ponderato, allora il caso di k = 2 è NP-completo essenzialmente dal Teorema 14 nel documento di Kobayashi e Sommer a cui ti sei collegato, che è essenzialmente lo stesso dell'ultimo paragrafo nella sezione 2 di [HP02] citato nella mia risposta. (2) Se G non è ponderato, non riesco a capire perché l'articolo di Kobayashi e Sommer implichi la durezza NP in caso di k = 2 e fonti diverse.

— Tsuyoshi Ito,

Nelle mie impostazioni, un grafico non è ponderato, quindi hai ragione: la mia affermazione sulla durezza NP in caso di K = 2 e fonti diverse è (probabilmente) errata.

— Sergey Pupyrev,

Ho aggiornato la dichiarazione del problema tenendo conto del commento di Tsuyoshi Ito.

— Sergey Pupyrev,

Questo non è esattamente quello che hai chiesto, ma il problema è NP-completo se k non è una costante ma parte dell'input.

Ciò deriva dalla dimostrazione del Teorema 1 in van der Holst e de Pina [HP02], che dice: dato un grafo planare G , vertici distinti s e t in G , e numeri interi positivi k e b , è NP-completo per decidere se ci sono k percorsi interni disgiunti vertici tra coppie s e t di lunghezza al massimo b .

Nota che il problema nell'affermazione del Teorema 1 è diverso dal tuo per due aspetti. Una differenza è, come ho già detto, che k è dato come parte dell'input. L'altro è che il problema in [HP02] riguarda i percorsi con endpoint comuni anziché i percorsi con una fonte comune e diversi sink. Non so come risolvere la prima differenza; la differenza è così grande che è probabile che avremo bisogno di una prova completamente diversa per correggere k . Ma so almeno come risolvere la seconda differenza.

La dimostrazione del Teorema 1 in [HP02] offre una riduzione da 3SAT. Questa riduzione ha la seguente proprietà: nell'istanza ( G , s , t , k , b ) costruita dalla riduzione, il grado di vertice t è sempre uguale a k . Sia t ₁ , ..., t _k i k vicini di t . Quindi, invece di chiedere se ci sono k percorsi interni disgiunti vertici tra s e t ciascuno della lunghezza al massimo b, possiamo ugualmente chiederci se ci sono percorsi di vertice-disgiunto-tranne-sorgente di coppia P ₁ , ..., P _k tale che ogni P _i è un percorso tra s e t _i di lunghezza al massimo b −1.

[HP02] H. van der Holst e JC de Pina. Percorsi disgiunti limitati in lunghezza nei grafici planari. Discrete Applied Mathematics , 120 (1–3): 251–261, agosto 2002. http://dx.doi.org/10.1016/S0166-218X%2801%2900294-3

— Tsuyoshi Ito
fonte

k

$k$

k

$k$

@SergeyPupyrev: hai scritto che k è una costante. (L'hai scritto perché sapevi cosa significa, vero?) Da quello che ho imparato da uno sguardo superficiale ai documenti pertinenti, se k sia una costante o meno in problemi correlati sembra fare una grande differenza nello stato attuale di la complessità del problema.

— Tsuyoshi Ito,

k

$k$

k

$k$

@SergeyPupyrev: non riesco a trovare un documento che indichi la complessità nel caso in cui k sia una costante, ma questo significa solo che non mi è noto .

— Tsuyoshi Ito,