Esiste un tipo di amplificazione gap di risultato per il problema dell'isomorfismo del grafico?

Supponiamo che e siano due grafici non indirizzati sul set di vertici . I grafici sono isomorfi se e solo se esiste una permutazione tale che , o più formalmente, se esiste una permutazione tale che è un bordo in se e solo if $G_1$ $G_2$ $\{1, \dotsc, n\}$ $\Pi$ $G_1 = \Pi(G_2)$ $\Pi$ $(i,j)$ $G_1$ è un vantaggio in . Il problema dell'isomorfismo dei grafi è il problema di decidere se due determinati grafici sono isomorfi. $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G_2$

Esiste un'operazione sui grafici che produce "amplificazione del gap" nello stile della dimostrazione di Dinur del teorema del PCP ? In altre parole, esiste una trasformazione calcolabile nel tempo polinomiale da a tale che $(G_1,G_2)$ $(G'_1,G'_2)$

se e sono isomorfi, allora anche e sono isomorfi, e $G_1$ $G_2$ $G'_1$ $G'_2$
se e G 2 non sono isomorfi, quindi per ogni permutazione Π , il grafico G ′ 1 è " ϵ -far" da Π ( G ′ 2 ) per qualche piccola costante ϵ , dove ϵ -far significa che se scegliamo ( i , j ) in modo uniforme in modo casuale, quindi con probabilità ε sia
- è un bordo di e non è un bordo di , oppure $(i,j)$ $G'_1$ $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G'_2$
- non è un bordo di e è un bordo di . $(i,j)$ $G'_1$ $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G'_2$

cc.complexity-theory graph-isomorphism pcp

— Andre Chailloux
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@domotorp: "Trasformazione del tempo polinomiale" è una terminologia standard per fare riferimento a una macchina di Turing deterministica del tempo polinomiale il cui input e output sono entrambi stringhe. In questo caso, questa macchina di Turing prende la coppia (G1, G2) come input e produce la coppia (G′1, G′2) come output. Ogni grafico è codificato come una matrice adiacente, per esempio.

— Tsuyoshi Ito,

Pensavo che il teorema del PCP fosse valido per qualsiasi problema NP, quindi in particolare dovrebbe valere per l'isomorfismo grafico?

— Denis,

@dkuper L'autore intende chiedere se esiste una riduzione che amplifica il gap che riduce i casi di isomorfismo del grafico a casi di isomorfismo del grafico con un gap maggiore; non sta chiedendo direttamente il teorema del PCP, ma solo una tecnica usata per dimostrare la durezza dell'approssimazione ...

— Argentpepper,

Probabilmente un colpo lungo, ma potresti dimostrare che se così fosse, allora potresti risolvere l'isomorfismo grafico nel tempo polinomiale quantistico?

— Neal Young,

È coerente con lo stato attuale delle conoscenze che anche SAT ha un algoritmo di tempo lineare, quindi è improbabile che ciò che hai scritto sia noto. In tal caso, aggiungi un riferimento alla tua risposta.

— Kaveh,

Non so se una cosa del genere possa esistere o meno. Ma è interessante (e forse tempestivo) notare che una tale "amplificazione del gap" implicherebbe probabilmente un algoritmo del tempo quasipolinomiale per l'isomorfismo grafico (diverso da quello recentemente annunciato)

In questo documento , viene fornito un algoritmo di approssimazione per il problema "MAX-IGP" di massimizzare coppie accoppiate di bordi / non bordi; se riduciamo da GI a "Gap-MAX-IGP", possiamo approssimare per distinguere da che parte del divario ci troviamo.

Quindi, penso che la dimostrazione di Dinur del teorema del PCP sia improbabile che sia direttamente generalizzabile a un tale "amplificatore di gap", dati gli ostacoli che dovrebbero essere superati.

— Joe Bebel
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