Questa domanda è strettamente correlata a un altro post: Transizioni di fase in NP Hard Problems ma è in qualche modo diversa. Mentre quella domanda riguarda la durezza di casi particolari di problemi difficili NP, si tratta di classificare la difficoltà degli stessi casi.
C'è molta bibliografia sull'effetto noto come Transizione di fase . In particolare per il caso di formule 3-SAT casuali in Conjunctive Normal Form (CNF), è noto che esiste un valore R del rapporto tra clausole e variabili tale che per ogni r <R la formula può essere soddisfatta con alta probabilità e per r> R la formula non è soddisfacente con alta probabilità. L'effetto di transizione di fase si verifica vicino a R e ha il notevole effetto che nella pratica è estremamente difficile risolvere il problema della soddisfacibilità per quelle formule.
Poiché per dimostrare la durezza NP di un determinato problema è necessario dimostrare che esiste un tempo polinomiale Riduzione di Turing ad esso di un problema NP completo e che i problemi NP completi possono essere trasformati in tempo polinomiale tra loro, quindi il la seguente domanda sorge spontanea:
È possibile classificare in pratica la difficoltà dei problemi NP difficili utilizzando come indicatore la transizione di fase del CNF 3-SAT? L'intuizione è che ci si può aspettare che un problema P1 sia più difficile di P2 se la sua codifica 3-SAT è più vicina a R (che è noto essere vicino a 4.2). Si noti che questa idea non necessariamente associa ogni particolare istanza a una particolare difficoltà, ma le classifica semplicemente.
Esistono numerosi argomenti contrari, tra cui:
- La transizione di fase della formula CNF 3-SAT si applica alle formule casuali. Tuttavia, un caso particolare in un problema diverso ha una struttura che potrebbe essere sfruttata dai risolutori per quel problema --- questo è già stato sottolineato da Peter Shor nella domanda di cui sopra.
- Potrebbe essere il caso che la particolare codifica utilizzata per trasformare le particolari istanze del nostro problema in 3-SAT svolga un ruolo cruciale nel rapporto tra clausole e variabili che portano a valori fuorvianti, quindi errate classificazioni --- questa preoccupazione è sollevata da Kaveh in i commenti a questa domanda.
- Serge (secondo la mia comprensione dal suo commento a questa domanda) solleva il problema che si potrebbe complicare artificialmente il problema difficile NP originale in modo che si traduca in una formula 3CNF che altera il rapporto tra clausole e variabili preservando la soddisfacibilità.
Per quanto riguarda 1, tutti i problemi potrebbero condividere la stessa classe di regolarità in modo da poter applicare i problemi di classificazione (anziché caratterizzare la difficoltà); per quanto riguarda 2, ci sono codifiche in particolari problemi che sono noti per essere non ridondanti rispetto alla regola di propagazione dell'unità in modo da preferirli e forse evitare tali classificazioni errate. Un esempio è Sideris et al., 2010 per il caso di Pianificazione proposizionale. Per quanto riguarda 3, Cheeseman et al., 1991, avevano già considerato la questione se le mappature tra i problemi preservassero o meno l'effetto di transizione di fase e i loro esperimenti preliminari sembrino supportare la loro congettura, a condizione che si riduca il problema NP originale e anche che " può essere ulteriormente ridotto applicando la risoluzione alle clausole ".
Tutto questo ha senso per te? sei a conoscenza di riferimenti bibliografici al riguardo? Qualsiasi guida sarebbe ampiamente riconosciuta!