Algoritmi noti per passare da un DFA a un'espressione regolare

Mi chiedevo se esiste un algoritmo `` migliore '' (spiegherò in che senso) che parte da un DFA e costruisce un'espressione regolare r tale che L ( A ) = L ( r ) , rispetto a quello nel libro di Hopcroft e Ullman (1979). Lì, gli insiemi R k i j sono usati per rappresentare insiemi di stringhe che portano il DFA dallo stato q i a q j senza attraversare uno stato numerato superiore a k . Questa costruzione, sebbene ovviamente corretta e molto utile, è piuttosto tecnica.$\mathcal{A}$$r$$L(\mathcal{A})=L(r)$$R_{ij}^k$$q_i$$q_j$$k$

Sto scrivendo una monografia sulla teoria degli automi algebrici e non voglio distrarre il mio pubblico con troppi dettagli tecnici (almeno non con dettagli irrilevanti per i risultati che voglio mostrare), ma voglio includere un prova dell'equivalenza tra DFA ed espressioni regolari a fini di completezza. Per la cronaca, sto usando gli automi Glushkov per passare da un'espressione regolare a un DFA. Sembrava più intuitivo delle transizioni , che non ho definito affatto (di nuovo, perché non ne ho bisogno).$\varepsilon$

Quali altri algoritmi sono noti per passare da un DFA a un'espressione regolare? Apprezzo la semplicità rispetto all'efficienza (per me è `` migliore '' in questo caso), ma non è un requisito.

Grazie in anticipo per il vostro aiuto!

Altre due costruzioni: l'eliminazione dello stato di Brzozowski-McCluskey aka [1] e l'eliminazione gaussiana in un sistema di equazioni usando il Lemma di Arden. La migliore fonte di questi è probabilmente il libro di Jacques Sakarovitch [2].

[1] J. Brzozowski, E. McCluskey Jr., Tecniche dei grafici del flusso di segnale per diagrammi di stato dei circuiti sequenziali, Transazioni IEEE su computer elettronici EC-12 (1963) 67–76.

[2] J. Sakarovitch, Elements of Automata Theory. Cambridge University Press, 2009.

Il libro di Kozen "Automata & Computability" menziona un'elegante generalizzazione di questo algoritmo di Floyd-Warshall. Dato che hai accennato agli algebristi, potresti trovarlo utile. Lo troverai a pagina 58-59 di quel testo. (Penso che Google Books abbia un'anteprima.)

Fondamentalmente, è possibile definire un'algebra di Kleene su matrici le cui voci provengono da un'algebra di Kleene. L'aggiunta / unione di matrici è un'aggiunta coordinata. La moltiplicazione / concatenazione di matrici è proprio come una normale moltiplicazione di matrici. La stella di Kleene per matrici è definita come:$2 \times 2$

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^* = \begin{bmatrix} (a+bd^*c)^* & (a+bd^*c)^*bd^* \\ (d+ca^*b)^*ca^* & (d+ca^*b)^* \end{bmatrix}$

$i,j$$i$$j$

$n \times n$$a,b,c,d$$m\times m$$m\times (n-m)$$(n-m) \times m$$(n-m) \times (n-m)$$2 \times 2$ rule above now with the matrix minors instead of "scalar" entries. (Analogously to how regular matrix multiplication can be defined recursively based on the rule for $2 \times 2$.)

So if you have an $n$-state NFA and its corresponding transition matrix $T$. Then an equivalent regular expression is $\sum_{f \in F} (T^*)_{s,f}$, where $s$ is the start state. $T^*$ can be evaluated recursively using the definition above.

Kozen claims that the case where you evaluate the matrix-star recursively using $m=1$ corresponds to the $R_{ij}^k$ algorithm.

Another derivation of the Kleene algebra structures over matrices appears in A Completeness Theorem for Kleene Algebras and the Algebra of Regular Events by Kozen.

By far the nicest procedure I have seen is the one mentioned by Sylvain. In particular, it seems to yield more concise expressions than others.

I wrote this document explaining the method for students last summer. It directly relates to a specific lecture; the reference mentioned is typical definition of regular expressions. A proof of Arden's Lemma is contained; one for correctness of the method is missing. As I learned of it in lecture I don't have a reference, sadly.