Riducibilità SERF e algoritmi subexponential

Ho una domanda riguardante la riducibilità SERF di Impagliazzo, Paturi e Zane e algoritmi subexponential. La definizione di riducibilità SERF fornisce quanto segue:

Se $P_1$ è SERF riducibile a $P_2$ e esiste l' algoritmo $O(2^{\varepsilon n})$ per $P_2$ per ogni , allora c'è $\varepsilon > 0$ $O(2^{\varepsilon n})$ algoritmo per per ogni . (Il parametro di durezza per entrambi i problemi è indicato da .) $P_1$ $\varepsilon > 0$ $n$

Alcune fonti sembrano implicare che valga anche quanto segue:

Se $P_1$ è SERF riducibile a $P_2$ e esiste l' algoritmo $O(2^{o(n)})$ per $A_2$ , allora esiste l' algoritmo $O(2^{o(n)})$ per $P_1$ .

La mia domanda è: quest'ultima affermazione è effettivamente valida e, in caso affermativo, esiste una scrittura della prova da qualche parte?

Come sfondo, ho cercato di capire l'area intorno all'ipotesi del tempo esponenziale. IPZ definisce i problemi subexponential come quelli che hanno algoritmo per ogni , ma questo apparentemente non è sufficiente alla luce delle attuali conoscenze per implicare l'esistenza di un algoritmo subexponential per il problema. Lo stesso divario sembra essere presente nella riducibilità SERF, ma mi aspetto parzialmente che mi manchi qualcosa qui ... $O(2^{\varepsilon n})$ $\varepsilon > 0$

cc.complexity-theory reference-request

— Janne H. Korhonen
fonte

EDIT: Come sottolineato da Ryan nei commenti, un problema potrebbe avere un algoritmo non uniforme con tempo di esecuzione per qualsiasi costante (l'algoritmo ha accesso a ) ma nessuna uniforme tempo algoritmo. $O(2^{\epsilon n})$ $\epsilon > 0$ $\epsilon$ $2^{o(n)}$

Come una riduzione SERF è una famiglia di riduzioni Turing, uno per ogni , concludo che possono essere utilizzati solo per ottenere algoritmi tempo o tempo algoritmi. $\epsilon>0$ $O(2^{\epsilon n})$ $O(2^{\epsilon n})$ $2^{o(n)}$

Il seguente teorema è dimostrato da Chen et al. [2009] .

Teorema 2.4 . Sia una funzione non decrescente e senza limiti, e sia un problema parametrizzato. Quindi le seguenti affermazioni sono equivalenti: (1) può essere risolto nel tempo per qualsiasi costante , dove è un polinomio; (2) può essere risolto nel tempo $f(k)$ $Q$
$Q$ $O(2^{\delta f(k)}p(n))$ $\delta > 0$ $p$
$Q$ $2^{o(f(k))} q(n)$ , dove è un polinomio. $q$

Prendendo ottiene che un problema ha un algoritmo temporale per ogni se e solo se ha un algoritmo temporale . $f(k)=n$ $O(2^{\epsilon n})$ $\epsilon>0$ $2^{o(n)}$

È menzionato nel documento di Chen et al. che questa equivalenza era stata intuitivamente usata prima, ma che stava causando un po 'di confusione tra i ricercatori.

— Serge Gaspers
fonte

Solo una nota: ci sono alcune altre condizioni che devono essere assunte perché la loro prova funzioni. Per uno,

deve essere calcolabile in modo efficiente. In secondo luogo, ci deve essere un singolo algoritmo uniforme

che raggiunge

per ogni

(si pensi a

come un altro input per

). È del tutto possibile che senza queste condizioni, un problema possa soddisfare (1) ma non (2).

f

$f$

A

$A$

2^{δ f (k)}

$2^{\delta f(k)}$

δ

$\delta$

δ

$\delta$

A

$A$

— Ryan Williams,

Giusto. Prendendo il Teorema 2.4 fuori dal suo contesto, queste due condizioni andarono perse. Nel documento, la nota 1 indica la condizione su

e la seconda condizione è indicata in Nota 2.

f

$f$

— Serge Gaspers

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

2^{o (m)}

$2^{o(m)}$

ε > 0

$\varepsilon > 0$

O (2^{ε n})

$O(2^{\varepsilon n})$ algorithm) and others use "uniform" definition (there is

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$ algorithm.) In particular IPZ use the former. For the latter, you have to alter the definition of SERF reduction so that the parameter

ε

$\varepsilon$ is given to the reduction as input; compare with the above theorem of Chen et al. For details, see e.g. Chapter 16 of Parameterized Complexity Theory (2006) by Flum and Grohe.

— Janne H. Korhonen

Also it seems that Flum and Grohe give a proof of the theorem in the answer in their book; see Lemma 16.1.

— Janne H. Korhonen