Algoritmi di approssimazione per Metric TSP

È noto che il TSP metrico può essere approssimato entro e non può essere approssimato meglio di in tempo polinomiale. Si sa qualcosa sulla ricerca di soluzioni di approssimazione in tempo esponenziale (ad esempio, meno di passi con solo spazio polinomiale)? Ad esempio, in quale tempo e spazio possiamo trovare un tour la cui distanza è al massimo ?$1.5$ 2n1,1×OP$123\over 122$$2^n$$1.1\times OPT$

Ho studiato il problema e ho trovato gli algoritmi più noti per TSP.

$n$ è il numero di vertici, è il peso massimo del bordo. A tutti i limiti viene assegnato un fattore polinomiale delle dimensioni di input ( ). Indichiamo TSP asimmetrico di ATSP.$M$$poly(n, \log M)$

1. Algoritmi esatti per TSP

1.1. ATSP generale

$M2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log (Mn)})}$ time and -space ( Björklund ).$exp$

$2^n$ tempo e spazio ( Bellman ; Held, Karp ).$2^n$

$4^n n^{\log n}$ tempo e spazio ( Gurevich, Shelah ; Björklund, Husfeldt ).$poly$

$2^{2n-t} n^{\log(n-t)}$ tempo e spazio per ( Koivisto, Parviainen ).$2^t$$t=n,n/2,n/4,\ldots$

$O^*(T^n)$ tempo e spazio per qualsiasi con ( Koivisto, Parviainen ).$O^*(S^n)$$\sqrt2<S<2$$TS<4$

$2^n\times M$ tempo e polispazio ( Lokshtanov, Nederlof ).

$2^n\times M$ tempo e spazio ( Kohn, Gottlieb, Kohn ; Karp ; Bax, Franklin ).$M$

Anche per Metric TSP non si sa nulla di meglio degli algoritmi sopra. È una grande sfida sviluppare l' algoritmo time per TSP con spazio polinomiale (vedi Open Problem 2.2.b, Woeginger ).$2^n$

1.2. Casi speciali di TSP

$1.657^n\times M$ tempo e probabilità esponenzialmente ridotta di errore ( Björklund ) per TSP non indirizzato.

$(2-\epsilon)^n$ spazio esponenziale per TSP in grafici con grado medio limitato, dipende solo dal grado di grafico ( Cygan, Pilipczuk ; Björklund, Kaski, Koutis ).$\epsilon$

$(2-\epsilon)^n$ e spazio per TSP in grafici con grado massimo limitato e pesi interi limitati, dipende solo dal grado del grafico ( Björklund, Husfeldt, Kaski, Koivisto ).$poly$$\epsilon$

$1.251^n$ e -space per TSP grafo cubico ( Iwama, Nakashima ).$poly$

$1.890^n$ e -space per TSP nei grafici di grado ( Eppstein ).$poly$$4$

$1.733^n$ spazio esponenziale per TSP in grafici di grado ( Gebauer ).$4$

$1.657^n$ tempo e spazio per Ciclo di Hamiltomian non diretto ( Björklund ).$poly$

$(2-\epsilon)^n$ spazio esponenziale per TSP in grafici con al massimo cicli hamiltoniani (per qualsiasi costante ) ( Björklund, Kaski, Koutis ).$d^n$$d$

2. Algoritmi di approssimazione per TSP

2.1. TSP generale

Non può essere approssimato in nessuna funzione calcolabile nel tempo polinomiale a meno che P = NP ( Sahni, Gonzalez ).

2.2. TSP metrico

$3 \over 2$Approssimazione ( Christofides ).

Non può essere approssimato con un rapporto migliore di meno che P = NP ( Karpinski, Lampis, Schmied ).$123\over 122$

2.3. TSP grafico

$7\over5$ ( Sebo, Vygen ).

2.4. (1,2) -TSP

MAX-SNP duro ( Papadimitriou, Yannakakis ).

$8 \over 7$Approssimazione ( Berman, Karpinski ).

2.5. TSP in metriche con dimensione limitata

PTAS per TSP in uno spazio euclideo a dimensione fissa ( Arora ; Mitchell ).

TSP è APX-difficile in uno spazio euclideo tridimensionale ( Trevisan ).$\log{n}$

PTAS per TSP in metriche con dimensione raddoppiata limitata ( Bartal, Gottlieb, Krauthgamer ).

2.6. ATSP con disuguaglianza triangolare diretta

$O(1)$Approssimazione ( Svensson, Tarnawski, Végh )

Non può essere approssimato con un rapporto migliore di meno che P = NP ( Karpinski, Lampis, Schmied ).$75\over 74$

2.7. TSP in grafici con i minori proibiti

PTAS a tempo lineare ( Klein ) per TSP in grafici planari.

PTAS per grafici senza minori ( Demaine, Hajiaghayi, Kawarabayashi ).

$22\frac{1}{2}$ -approssimazione per ATSP in grafici planari ( Gharan, Saberi ).

$O(\frac{\log g}{\log\log g})$ -approximation per ATSP in genus- grafici ( Erickson, Sidiropoulos ).$g$

2.8. MAX-TSP

$7\over9$ -approssimazione per MAX-TSP ( Paluch, Mucha, Madry ).

$7\over8$ -approssimazione per MAX-Metric-TSP ( Kowalik, Mucha ).

$3\over4$ per MAX-ATSP ( Paluch ).

$35\over44$ -approssimazione per MAX-Metric-ATSP ( Kowalik, Mucha ).

2.9. Approssimazioni del tempo esponenziale

È possibile calcolare l' approssimazione per MIN-Metric-TSP nel tempo con spazio esponenziale per qualsiasi o nel tempo con spazio polinomiale per qualsiasi ( Boria, Bourgeois, Escoffier, Paschos ).$(1+\epsilon)$$2^{(1-\epsilon/2)n}$$\epsilon\le \frac{2}{5}$$4^{(1-\epsilon/2)n} n^{\log n}$$\epsilon \leq \frac{2}{3}$

Sarei grato per eventuali aggiunte e suggerimenti.

Un'approssimazione di 1.1 può essere ottenuta nel tempo (e nello spazio) adattando una versione "troncata" dell'algoritmo di Held e Karp . Qui è il numero di posizioni. Più in generale, una approssimazione può essere trovata nel tempo per tutti . Questo proviene da:O * ( 2 n ) n ( 1 + ε ) O * ( 2 ( 1 - ε / 2 ) n ) ε ≤ 2 /$O^*(1.932^n)$$O^*(2^n)$$n$$(1+\epsilon)$$O^*(2^{(1-\epsilon/2)n})$$\epsilon \le 2/5$

Nicolas Boria, Nicolas Bougeois, Bruno Escoffier, Vangelis Th. Paschos: schemi di approssimazione esponenziale per alcuni problemi del grafico. Disponibile on-line .

Una domanda simile può essere posta per qualsiasi problema in cui abbiamo un limite inferiore sull'approssimabilità e un limite superiore e attualmente . Presumo che l'interrogatore sia interessato ad algoritmi temporali sub-esponenziali. Questo dipende dalla "verità" sconosciuta. Supponiamo che il problema sia NP-Difficile da approssimare all'interno di un fattore che è in parte nell'intervallo [ . Ciò significa che c'è una riduzione da SAT al problema in modo tale che una valutazione migliore di ci consentirebbe di decidere la risposta a SAT. Se crediamo all'ipotesi del tempo esponenziale per SAT, l'efficienza della riduzione darà unβ α < β γ α , β ] γ θ γ 2 n O ( θ )$\alpha$$\beta$$\alpha < \beta$$\gamma$$\alpha, \beta]$$\gamma$$\theta$tale che l'approssimazione al di sotto di non è possibile in un tempo inferiore a . Tuttavia, qualsiasi cosa peggiore di è possibile in tempi polinomiali. Ciò significa che in genere non lo facciamo$\gamma$$2^{n^{O(\theta)}}$$\gamma$(almeno nella gamma dei fattori costanti) vedere miglioramenti nel rapporto di approssimazione anche quando viene dato un tempo sub-esponenziale. Esistono diversi problemi in cui il miglior risultato di durezza noto è attraverso una riduzione inefficiente da SAT, ovvero il risultato di durezza è assunto più debole come NP non contenuto nel tempo quasi polinomiale. In tali casi si potrebbe ottenere una migliore approssimazione in tempi sub-esponenziali. L'unico che conosco è il problema dell'albero del gruppo Steiner. Un recente famoso risultato è quello di Arora-Barak-Steurer su un algoritmo a tempo sub-esponenziale per giochi unici: la conclusione che traggiamo da questo risultato è che se UGC è vero, allora la riduzione da SAT a UGC deve essere qualcosa che inefficiente, cioè la dimensione dell'istanza di UGC ottenuta dalla formula SAT deve crescere con i parametri in un certo modo.

Il miglior tsp per i grafici di genere limitati ponderati è http://erikdemaine.org/papers/ContractionTSP_Combinatorica/ .