Rendere inclinata una decomposizione dell'albero di larghezza minima nel tempo polinomiale

Come è noto, una decomposizione dell'albero di un grafico costituita da un albero con un sacchetto associato per ciascun vertice , che soddisfa le seguenti condizioni: $G$ $T$ $T_v \subseteq V(G)$ $v \in V(T)$

Ogni vertice del si verifica in qualche sacchetto di . $G$ $T$
Per ogni bordo di è presente un sacchetto contenente entrambi i punti finali del bordo. $G$
Per ogni vertice , i sacchi contenenti inducono una sottostruttura collegata di . $v \in V(G)$ $v$ $T$

Potremmo anche richiedere la seguente condizione, chiamata magrezza , dalla nostra decomposizione:

Per ogni coppia di sacchi , di , se e con , quindi a) ci sono percorsi disgiunti vertice in , oppure b) l'albero contiene un bordo sul percorso dal nodo al nodo tale che $T_a$ $T_b$ $T$ $A \subseteq T_a$ $B \subseteq T_b$ $|A| = |B| = k$ $k$ $A-B$ $G$ $T$ $pq$ $a$ $b$ e il set interseca tutti percorsi in . $|V(T_p) \cap V(T_q)| \leq k$ $V(T_p) \cap V(T_q)$ $A-B$ $G$

Robin Thomas ha dimostrato che esiste sempre una decomposizione dell'albero di larghezza minima, anch'essa snella, e prove più semplici di questo fatto sono state fornite da numerosi autori, ad esempio da Patrick Bellenbaum e Reinhard Diestel .

Quello che mi interessa è il seguente: dato un grafico e una decomposizione dell'albero di larghezza minima di , possiamo trovare una decomposizione dell'albero magro di larghezza minima di in tempo polinomiale? $G$ $G$ $G$

Le due prove citate non producono una costruttività così efficiente. Nel documento di Bellenbaum e Diestel si menziona che "Un'altra breve (più costruttiva) breve dimostrazione del teorema di Thomas è stata data in P. Bellenbaum, Schlanke Baumzerlegungen von Graphen, Diplomarbeit, Universitat Hamburg 2000." Purtroppo, non sono stato in grado di trovare il manoscritto online e il mio tedesco non è eccezionale.

— Bart Jansen
fonte

Bella domanda Trovare una decomposizione dell'albero di larghezza minima è NP-Hard, quindi il tuo problema è in qualche modo mal posto (sembra). La mia ipotesi sarebbe che si possa chiedere questo per il caso limitato della larghezza degli alberi o nel senso dell'approssimazione.

— Chandra Chekuri,

Ma nel suo caso ha dato un albero di decomposizione min-width e vuole un algoritmo per rendere più magra.

— Suresh Venkat,

@SureshVenkat: mi rendo conto che gli viene data una scomposizione dell'albero di larghezza minima, ma come puoi anche verificare che sia corretto? Inoltre, una decomposizione di alberi magri si adatta localmente alla larghezza degli alberi di diverse parti del grafico, quindi avere una decomposizione degli alberi del grafico globale che è ottimale non evita il problema di trovare la larghezza degli alberi dei pezzi locali che è difficile.

— Chandra Chekuri,

Le decomposizioni degli alberi lisce (dove tutte le sacche hanno le stesse dimensioni e due sacche adiacenti differiscono esattamente di un vertice) sono molto più facili da gestire rispetto alle decomposizioni degli alberi generali, ed è facile vedere che c'è sempre una decomposizione dell'albero di larghezza minima che è liscia . Quindi forse puoi ottenere una costruzione efficiente limitando una delle costruzioni conosciute a queste. Esiste sempre una decomposizione dell'albero di larghezza minima che sia liscia e magra?

— Diego de Estrada,

@ChandraChekuri Suppongo che il problema di verifica scompaia se lo si definisce un problema promettente, ma vedo il tuo punto sull'avere una decomposizione di un albero che non ti dà necessariamente abbastanza informazioni per adattarti. Ma la seguente domanda potrebbe essere plausibile: esiste un modo per "localmente" modificare una data decomposizione dell'albero per renderla "inclinata" senza aumentare la larghezza dell'albero?

— Suresh Venkat,

Ecco un motivo formale per cui il problema non è risolvibile con poli tempi a meno che P = NP. Sappiamo che trovare la larghezza dell'albero di un dato grafico è NP-Hard. Dato un grafico possiamo aggiungere una cricca disgiunta di dimensione per creare un nuovo grafico . Un albero-decomposizione min-larghezza di può essere ottenuto come segue: ha due nodi con un sacchetto contenente tutti i nodi della cricca e l'altro contenente tutti i nodi di . Ora, facendo di questo albero-decomposizione magra richiederebbe trovare una decomposizione lean-albero del grafico originale , che sarebbe, come sottoprodotto, dare l'treewidth di . $G$ $V(G)+1$ $G'$ $G'$ $G$ $G$ $G$

— Chandra Chekuri
fonte

Buon punto. Sai se si sa qualcosa sugli algoritmi parametrici e / o moderatamente esponenziali per trovare decomposizioni di alberi magri?

— Bart Jansen,