Problemi "indirizzati" che sono più facili della loro variante "non indirizzata".

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Stavo presentando una lezione sullo smistamento dei pancake e ho detto che:

Che mi ha fatto pensare. C'è un senso in cui l'ordinamento "firmato" è "diretto" - puoi vedere il segno come una direzione (e in effetti, questa è la motivazione della biologia evolutiva). Ma è un problema più semplice! Ciò è insolito perché i problemi diretti generalmente (almeno sui grafici) sono più difficili (o almeno altrettanto difficili) delle loro controparti non indirizzate.

Supponendo una generosa definizione di "diretto", esistono esempi di problemi diretti più facili delle loro controparti non indirizzate?

ds.algorithms

— Suresh Venkat
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Puoi considerare Horn 3SAT (ogni clausola può essere rappresentata come (A AND B) C) come clausole dirette poiché possono essere viste come implicazioni. Quindi, qui il caso diretto è facile mentre il 3SAT non indirizzato è difficile.

\to

$\to$

— Mohammad Al-Turkistany,

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Mi sono chiesto una domanda simile per una classe che stavo insegnando (dove abbiamo usato LP per approssimare la soluzione IP): c'è una classe di problemi in cui trovare una soluzione intera era più facile che trovare una soluzione razionale

— Gopi,

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Il conteggio dei circuiti euleriani per i grafici diretti è realizzabile in tempo polinomiale usando il teorema MIGLIORE , mentre apparentemente lo stesso problema per i grafici non indirizzati è # P-completo .

— Timothy Sun
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Tutte le risposte sono ottime, ma se devo accettarne una, è perché il divario è grande e il problema è molto pulito.

— Suresh Venkat,

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Un caso interessante e non così noto è il seguente. Supponiamo di avere un grafico ponderato per i bordi e il nodo radice . Vogliamo il sotto-grafico del costo minimo di tale che ci siano percorsi disgiunti da verso ogni nodo del grafico. Quando questo è il problema dell'arborescenza a costo minimo nei grafici diretti e nei grafici non orientati è equivalente al problema MST. Entrambi risolvibili in poli-tempo sebbene il caso non indirizzato sia più facile. Tuttavia, il problema è risolvibile da poli tempi nei grafici diretti per qualsiasi mentre è NP-Hard nei grafici non indirizzati per (poiché cattura il costo minimo $G$ $r$ $G$ $k$ $r$ $k=1$ $k$ $k=2$ $2$ sub-graph problema connesso).

— Chandra Chekuri
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Forse questo non è il miglior esempio, ma considera la Copertura del ciclo (Diretto), in cui il compito è quello di coprire tutti i vertici con cicli di vertice (disgiunti). Nel caso diretto, questo può essere ridotto alla corrispondenza bipartita e risolto in tempi polinomiali. Nel caso non indirizzato, il problema può essere ridotto all'abbinamento non bipartito (e viceversa), che è un problema più difficile, ma ancora risolvibile nel tempo polinomiale.

— Daniel Marx
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Un esempio simile più impressionante è il seguente: sia

un grafico ponderato diretto (i pesi possono essere negativi). Possiamo verificare se esiste un ciclo negativo in

usando l'algoritmo Ford-Bellman. Ma se

non viene indirizzato, il problema diventa molto più difficile (ma comunque risolvibile con poli-tempo).

G

$G$

G

$G$

G

$G$

— ilyaraz,

Questo è sicuramente un buon esempio, e sulla falsariga di ciò a cui stavo pensando quando ho posto la domanda.

— Suresh Venkat,

2

Ho sempre avuto l'impressione che i "problemi relativi ai cicli" siano più facili sui grafici diretti. Forse c'è qualche principio dietro, come i componenti a 2 connessioni hanno "meno struttura" dei componenti fortemente connessi ("problemi che coinvolgono i cicli" = quelli che possono essere risolti osservando separatamente ciascun componente).

— Diego de Estrada il

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Diego: se una camminata chiusa diretta attraversa un vertice v, allora c'è un ciclo diretto che attraversa v. L'affermazione analoga non è vera per i grafici non indirizzati. Pertanto, nei grafici diretti, spesso possiamo ragionare sulle passeggiate anziché sui cicli. Le passeggiate sono più robuste e meno teoriche dei cicli rispetto ai cicli, il che potrebbe essere un vantaggio. Forse questa è una spiegazione formale della tua impressione.

— Daniel Marx,

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Ecco un problema che, come ho recentemente capito, sembra in realtà più difficile nei grafici non indirizzati rispetto a quelli diretti.

$m\sqrt{n}\log C$ $m$ $n$ $C$ $n^3, mn\log n$

$m\sqrt{n}\log C$ $n^3, mn\log n$

— virgi
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ma qui 'difficile' significa solo rispetto ai runtime (polinomiali) degli algoritmi che conosciamo; può darsi che ci manchi qualche tecnica, naturalmente

— Virgi

2

Questo è un altro esempio interessante. E congratulazioni ps per il nuovo straordinario risultato.

— Suresh Venkat,

1

Grazie Suresh! In un'altra nota, ho appena notato che ilyaraz ha avuto la mia risposta in un commento alla risposta di Daniel Marx ... scusate il duplicato.

— Virgi,