Giusto per dare alcune idee su ciò che è possibile (ma in qualche modo non banale), ecco un esempio: un algoritmo distribuito che trova un limite massimo impacchettato in un grafico a gradi limitati.
Definizione del problema
Dato un semplice grafico non orientato , un impaccamento dei bordi (o corrispondenza frazionaria) associa un peso w ( e ) a ciascun bordo e ∈ E tale che per ciascun nodo v ∈ V , il peso totale dei bordi incidente a v è al massimo 1 . Un nodo è saturo se il peso totale dei bordi degli incidenti è uguale a 1 . Un impaccamento dei bordi è massimo se tutti i bordi hanno almeno un punto finale saturo (cioè, nessuno dei pesi può essere esteso avidamente).G=(V,E)w(e)e∈Ev∈Vv11
Osservare che una corrispondenza massima definisce un impaccamento del bordo massimo (impostare w ( e ) = 1 iff e ∈ M ); quindi è facile da risolvere in una classica impostazione centralizzata (supponendo GM⊆ Ew ( e ) = 1e ∈ Msol sia finito).
Gli imballaggi perimetrali in realtà hanno alcune applicazioni, almeno se si definisce un'applicazione nel solito senso TCS: l'insieme di nodi saturi forma un'approssimazione di una copertura minima del vertice (ovviamente questo ha senso solo nel caso di una G finita2sol ) .
Modello di calcolo
Partiamo dal presupposto che esiste una costante globale tale che il grado di qualsiasi v ∈ V sia al massimo Δ .Δv ∈ VΔ
Per tenerlo il più vicino possibile allo spirito della domanda originale, definiamo il modello di calcolo come segue. Partiamo dal presupposto che ogni nodo è una macchina di Turing e un bordo { u , v } ∈ E è un canale di comunicazione tra u e v . Il nastro di input di v codifica il grado deg ( v ) di v . Per ogni v ∈ V , i bordi incidenti a v sono etichettati (in un ordine arbitrario) con numeri interi 1 , 2 , ...v ∈ V{ u , v } ∈ Euvvdeg( v )vv ∈ Vv ; Questi sono chiamatietichette giuntati locali(l'etichetta di { u , v } ∈ E possono essere diversi per u e v ). La macchina ha istruzioni con le quali può inviare e ricevere messaggi attraverso ciascuno di questi bordi; una macchina può rivolgersi ai vicini usando le etichette dei bordi locali.1 , 2 , ... , deg( v ){ u , v } ∈ Euv
Abbiamo bisogno che le macchine calcolare un bordo valida imballaggio per G . Più precisamente, ogni v ∈ V deve stampare sul suo nastro di output una codifica di w ( e ) per ciascun bordo e incidente a v , ordinato dalle etichette dei bordi locali e quindi arrestarsi.wsolv ∈ Vw ( e )ev
Diciamo che un algoritmo distribuito trova un impacchettamento del bordo massimo nel tempo T , se quanto segue vale per qualsiasi grafico G di massimo grado Δ e per qualsiasi etichettatura di bordo locale di G : se sostituiamo ogni nodo di G con una copia identica di la Turing machine A e avviare le macchine, quindi dopo i passaggi T tutte le macchine hanno stampato una soluzione valida (globalmente coerente) e si sono fermate.UNTsolΔsolsolUNT
Infinities
Ora tutto quanto sopra ha perfettamente senso anche se l'insieme dei nodi è numerabilmente infinito.V
La formulazione del problema e il modello di calcolo non hanno riferimenti a , direttamente o indirettamente. La lunghezza dell'input per ogni macchina di Turing è limitata da una costante.| V|
Ciò che è noto
Il problema può essere risolto a tempo finito anche se è infinito.sol
Il problema non è banale, nel senso che è necessaria una comunicazione. Inoltre, il tempo di funzionamento dipende da . Tuttavia, per qualsiasi Δ fisso , il problema può essere risolto in tempo costante indipendentemente dalla dimensione di G ; in particolare, il problema è risolvibile su grafici infinitamente grandi.ΔΔsol
Non ho verificato qual è il tempo di esecuzione più noto nel modello sopra definito (che non è il solito modello utilizzato nel campo). Tuttavia, un tempo di esecuzione polinomiale in dovrebbe essere abbastanza facile da raggiungere, e penso che un tempo di esecuzione che sia sublineare in Δ sia impossibile.ΔΔ