Algoritmi di approssimazione temporale super polinomiale per MAX 3SAT

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Il teorema di PCP afferma che non esiste un algoritmo di tempo polinomiale per MAX 3SAT per trovare un compito che soddisfi le clausole di una formula 3SAT soddisfacente a meno che . $7/8+ \epsilon$ $P = NP$

Esiste un banale algoritmo temporale polinomiale che soddisfa delle clausole. Quindi, possiamo fare meglio di se consentiamo algoritmi super polinomiali? Quali rapporti di approssimazione possiamo ottenere con algoritmi temporali quasi polinomiali ( ) o con algoritmi temporali sub-esponenziali ( )? Sto cercando riferimenti a tali algoritmi. $7/8$ $7/8+ \epsilon$ $n^{O(\log n)}$ $2^{o(n)}$

cc.complexity-theory pcp

— Mohammad Al-Turkistany
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Si può ottenere un'approssimazione 7/8 per MAX3SAT che gira in senza troppi problemi. Ecco l'idea. Dividi l'insieme di variabili in gruppi di variabili ciascuno. Per ogni gruppo, prova tutti i modi per assegnare le variabili nel gruppo. Per ogni formula ridotta, eseguire l' approssimazione di Karloff e Zwick . Produce l'incarico soddisfacendo un numero massimo di clausole, tra tutte queste prove. $7/8+\varepsilon/8$ $2^{O(\varepsilon n)}$ $O(1/\varepsilon)$ $\varepsilon n$ $2^{\varepsilon n}$ $7/8$

Il punto è che esiste un blocco variabile tale che l'assegnazione ottimale (limitata a quel blocco) soddisfa già una frazione di del numero massimo di clausole soddisfatte. Otterrai quelle clausole extra esattamente corrette e otterrai della frazione rimanente dell'ottimale usando Karloff e Zwick. $\varepsilon$ $7/8$

È una domanda interessante se si può ottenere tempo per lo stesso tipo di approssimazione. Esiste una "congettura PCP lineare" secondo la quale 3SAT può essere ridotto in tempo polinomiale a MAX3SAT, in modo che: $2^{O(\varepsilon^2 n)}$

se l'istanza 3SAT è soddisfacente, allora l'istanza MAX3SAT è completamente soddisfacente,
se l'istanza 3SAT non è soddisfacente, allora l'istanza MAX3SAT non è 7/8 soddisfacente, e $7/8+\varepsilon$
la riduzione aumenta la dimensione della formula solo di un fattore . $poly(1/\varepsilon)$

Supponendo che questa congettura PCP lineare, un'approssimazione di -time 7/8 , per tutto e , implicherebbe che 3SAT è in tempo, per tutti . (Qui è il numero di clausole.) La dimostrazione usa il Lemma di parsimonia di Impagliazzo, Paturi e Zane. $2^{O(\varepsilon^c m)}$ $7/8+\varepsilon$ $c$ $\varepsilon$ $2^{\varepsilon n}$ $\varepsilon$ $m$

— Ryan Williams
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Grazie Rayan per la tua bella risposta, possiamo considerarlo una prova contro l'esistenza di algoritmi di tempo quasi polinomiali o sub-esponenziali con rapporti di approssimazione migliori di ?

7 / 8

$7/8$

— Mohammad Al-Turkistany,

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Per ribadire in qualche modo ciò che Ryan Williams ha scritto nel suo ultimo paragrafo:

Il teorema di Moshkovitz-Raz mostra che esiste una funzione tale che se Max-3Sat può essere -approssimato nel tempo quindi la versione della decisione di 3Sat è nel tempo . Si ritiene comunemente che quest'ultimo sia impossibile (questa è l'ipotesi del tempo esponenziale), nel qual caso anche il primo è impossibile. Per dirla in modo non abbastanza preciso, non puoi battere per Max-3Sat in qualcosa di meglio del tempo esponenziale completo. $T(n) = 2^{n^{1-o(1)}}$ $(7/8 + 1/(\log \log n)^{.000001})$ $T(n)$ $2^{o(n)}$ $7/8$

— Ryan O'Donnell
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