Esiste un debole omomorfismo della coalgebra?

Dato un endofunctor , possiamo definire funzioni di osservazione come funzioni che sono polimorfi per ogni F -coalgebra, pari o b s è definito per ogni F -coalgebra ⟨ A , c : A → F A ⟩ . o b s : ∀ ⟨ A , c ⟩ . A → B Un altro modo di vedere le funzioni di osservazione è come le funzioni del finale$F : Set \rightarrow Set$$F$$obs$$F$$\langle A, c : A \rightarrow FA\rangle$

$$obs : \forall \langle A, c \rangle . A \to B$$ -coalgebrase esiste. Otteniamo automaticamente il polimorfismo componendo la funzione di osservazione con l'omomorfismo unico alla finale F -coalgebra. Ma questo funziona solo seesiste la F -coalgebrafinale.$F$$F$$F$

Una delle caratteristiche distintive di una funzione di osservazione è che annulla qualsiasi omomorfismo della coalgebra composto a destra, a causa del suo polimorfismo. Se è un omomorfismo F -coalgebra, allora: o b s = o b s ∘ h o m Durante la mia ricerca, nel tentativo di definire una nozione di coerenza osservativa tra una coalgebra e l'altra, ho avuto l'idea di un omomorfismo debole della coalgebra. L'idea è che possiamo "falsificare" un omomorfismo di coalgebra se conosciamo in anticipo la funzione di osservazione. Pertanto, potremmo soddisfare, o b s = o b $hom$$F$

$$obs = obs \circ hom$$ ma solo per un particolare o b s . $$obs = obs \circ hom$$ $obs$

Ad esempio, supponiamo , e lasciare o b s essere definito come o b s : ∀ ⟨ A , c ⟩ . A → { 0 , 1 } 2 o b s = ⟨ ( π 1 ∘ c ) , ( π 1 ∘ c ∘ π 2 ∘ c $FX = \{0,1\} \times X$$obs$

$$obs : \forall \langle A, c\rangle. A \to \{0,1\}^2$$ Cioè, o b s prende i primi due elementi di un flusso. $$obs = \langle (\pi_1 \circ c), (\pi_1 \circ c \circ \pi_2 \circ c) \rangle$$ $obs$

Poi, un homomorphism F-coalgebra dovrebbe assicurare che conserva tutti gli elementi del flusso, mentre un homomorphism debole deve solo conservare i primi due elementi del flusso.$obs$

Nella mia ricerca, questa nozione sarebbe utile per dimostrare che una coalgebra è osservazionalmente coerente con un'altra mostrando che ogni funzione di osservazione lineare finita ha un debole omomorfismo dalla prima coalgebra alla seconda coalgebra. In altre parole, ogni seconda osservazione lineare finita sulla prima coalgebra può essere riprodotta sulla seconda coalgebra.

(Quello che intendo per funzione di osservazione lineare sembra per lo più irrilevante, ma per motivi di condivisione ... Una funzione di osservazione lineare è più o meno una che utilizza ogni stato del set di portatori solo una volta. Sto cercando di modellare un oracolo, e l'utente non può tornare indietro e fingere di non aver mai fatto una domanda.)

Le mie domande sono quindi:

1. Questo è stato studiato? Esistono già "deboli omomorfismi di coalgebra", forse con qualche altro nome?

2. Esiste un modo più "teorico di categoria" per presentare questo?

Modifica : rimosse due domande che non sono così importanti.

I "morfismi deboli" che descrivi hanno un nome in un contesto leggermente limitato. Possono anche essere definiti abbastanza in generale, come spiegherò.

$T : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$$\mathsf{Set}$$\alpha$$\alpha$$\alpha \leq \omega$. Prima della coalgebra, i logici modali avevano studiato bisimulazioni n-step per i frame Kripke, che equivalgono a bisimulazioni n-step per coalgebre per il funzione powerset. Il tuo requisito che siano funzioni rispetto alle relazioni le rende bisimulazioni n-step funzionali .

$\mathbb{C}$$T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$$T$$\mathsf{Set}$$\mathbb{C}$

$1 \quad \xleftarrow{!_{T1}} \quad T1 \quad \xleftarrow{T !_{T1}} \quad T^2 1 \quad \xleftarrow{T^2 !_{T1}} \quad \dots \quad T^\omega 1 \quad \xleftarrow{f_\omega^{\omega + 1}} \quad T(T^\omega 1) \quad \xleftarrow{Tf_\omega^{\omega + 1}} \quad \dots$

$1$$\mathbb{C}$$\mathsf{Set}$$1 = \{*\}$$!_{T1} : T1 \to 1$$\mathsf{Set}$$T1$$*$$T^n 1$$T$$T^\omega 1$$\omega$$T^\alpha 1$$\alpha$

$T$$(Z,\gamma)$$\mathbb{C}$$\mathsf{beh}_\gamma^\alpha : Z \to T^\alpha 1$$\alpha$$\alpha < \omega$

$\mathsf{beh}_\gamma^0 : Z \to 1$

$\mathsf{beh}_\gamma^{n+1} = T\mathsf{beh}_\gamma^n \circ \gamma : Z \to T^{n+1} 1$

$Z$$\alpha$$T$$(A,\gamma)$$(B,\delta)$$\mathbb{C}$$f : A \to B$$\alpha$

$\mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

$\alpha$$f(z)$$\delta$$\alpha$$z$$\gamma$

Spero comunque che sia utile. Puoi trovare vari riferimenti cercando su google "coalgebra a sequenza terminale" o "coalgebra a sequenza finale".

Di norma, si dovrebbe evitare una terminologia fortemente sovraccaricata come debole, regolare, normale, ecc. A meno che la nozione abbia una certa universalità. In particolare, sembra che la tua nozione non corrisponda alla solita nozione di debole omomorfismo dopo il lancio della freccia.

Ci sono sempre termini più descrittivi ogni volta che fai qualcosa di meno universale, come "omomorfismo osservazionalmente indebolito", forse abbreviato in "omomorfismo del dovere".

La tua nozione di funzione di osservazione fornisce già una presentazione teorica di categoria. Mi preoccuperei di più di chiarire cosa significhi esattamente e perché sia ​​interessante, piuttosto che cercare la maggior generalità possibile. In particolare, in genere si dovrebbe fornire un esempio informativo e non esemplificativo quando si introducono nozioni insolite nella stampa.