Connettività dei grafici mediante rimozione di bordi e vertici

Diciamo che un grafo è -Connected se la rimozione di eventuali vertici e qualsiasi bordi da lascia sempre un grafo connesso. Ad esempio, un grafico con connessione , secondo la definizione standard, è collegato, secondo la nuova definizione. Esiste un algoritmo a tempo polinomiale per decidere se è collegato? Qui ritengo che l'ingresso è , e $G$ $(a,b)$ $a$ $b$ $G$ $k$ $(k-1,0)$ $G$ $(a,b)$ $G$ $a$ . $b$

ds.algorithms graph-theory graph-algorithms

— qualcuno
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Problemi con i compiti?

— Chandra Chekuri,

Sono arrivato a questa domanda durante un discorso di Janez Zerovnik sulla connettività delle reti per circa 2/3 anni. Ad essere sincero, non ricordo i dettagli. Da allora, ho chiesto a 4 ricercatori e nessuno ha visto come ridurlo alla connettività dei vertici (o connettività ai bordi), che sarebbe l'approccio ovvio. Inoltre, nessuno poteva sottolineare un teorema di tipo Menger. Quindi sì, penso che questa sia una domanda a livello di ricerca, possibilmente con una risposta semplice o meno.

— qualcuno il

Non so perché la gente a volte presuma che una domanda sia un compito a casa senza pensarci prima. Penso che non dovresti dichiarare qualcosa a casa se non almeno sai come risolverlo.

— domotorp,

@domotorp: la gente di solito chiede se si tratta di un compito, non di rivendicare. È difficile giudicare se una domanda è a livello di compiti a casa o meno quando la domanda non contiene background / motivazione.

— Kaveh,

Capisco che la mia domanda potrebbe essere interpretata erroneamente come compiti a casa a causa di diversi motivi, ma ora dovremmo andare avanti. In realtà, con il commento di Chandra Chekuri ho avuto qualche speranza che forse la domanda potesse avere una risposta semplice ...

— qualcuno

Questa è una versione modificata di una "risposta" precedente che ha erroneamente rivendicato un algoritmo a tempo polinomiale per il problema. Quello che scrivo di seguito è una connessione a un problema esistente che suggerisce che il problema è difficile.

Sia due nodi in e vogliamo verificare se sono collegati . Che è la rimozione qualsiasi nodi e qualsiasi bordi non dovrebbe scollegare e . Un altro modo di osservarlo come segue: qual è il numero minimo di nodi che dobbiamo rimuovere per ridurre la connettività dei bordi tra $s,t$ $G$ $(a,b)$ $a$ $b$ $s$ $t$ $s$ e a $t$ $b$ ? Questo tipo di problemi è stato studiato con il nome di tagli multi-percorso e sono flussi doppi a multi-percorso. Sono stati mostrati vari risultati di approssimazione sebbene molti problemi di base non siano ancora stati risolti. Un risultato di interesse è il seguente. Supponiamo ogni bordo ha un costo e si desidera eliminare l'insieme minimo costo di bordi per ridurre il bordo connettività tra e a ; allora questo problema è NP-Hard quando fa parte dell'input. Questo risultato è nel documento di Barman e Chawla: http://arxiv.org/abs/0908.0350 $c(e)$ $s$ $t$ $b$ $b$

Due articoli che appariranno nel prossimo SODA 2012 sono su tagli multi-percorso che hanno ulteriori risultati sull'argomento. Quello di Chuzhoy etal ha risultati di durezza per alcune varianti.

— Chandra Chekuri
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L'articolo etico di Chuzhoy è ora disponibile su ArXiv: arxiv.org/abs/1112.3611

— Chandra Chekuri,