Ridurre le domande di soglia alle domande di finitezza

Di solito è più semplice ragionare sul calcolo in cui la limitazione è la finezza del calcolo piuttosto che una soglia come "calcolabile in termini di tempo polinomiale".

Nella teoria dei linguaggi formali per esempio, piuttosto di usare $\exists n. x^{n+1} = x^n$ per caratterizzare il monoïd aperiodico, è più facile usare parole profinite in modo che $x^{\omega+1} = x^{\omega}$ .

Nella teoria della complessità, l'unica tecnica che conosco a cui è collegata è il trucco del padding, ad esempio che collega il problema di P vs NP a EXPTIME vs NEXPTIME. Ma il naturale equivalente infinito delle domande di complessità sarebbero quelle di calcolabilità.

Ci sono alcuni risultati che collegano la complessità alle domande di calcolabilità usando una codifica tale che la soglia di risorse della teoria della complessità diventa una questione di finitezza del calcolo nella teoria della calcolabilità?

Sipser ha dimostrato che nessuna parità infinita può essere calcolata da un circuito (infinito) di qualsiasi profondità costante, che è possibile visualizzare come un riscaldamento al risultato che PARITY non è in .$AC^0$

Ci sono anche alcuni risultati e tentativi di prove di limiti inferiori nella complessità delle prove usando modelli non standard (alcuni risultati di Ajtai e Krajicek. Vedi l'espressione "Forcing with Random Variables and Proof Complexity" di Krajiceks, disponibile da Cambridge Press, ma anche una bozza disponibile online ). L'idea di base è quella di costruire un modello aritmetico non standard in cui un'istruzione sia falsa nel modello (piuttosto che "vera, ma senza prove brevi"), e quindi, dalle proprietà del modello, dedurre che una corrispondente sequenza di le dichiarazioni non hanno prove di dimensioni polinomiali in alcuni sistemi di prova.

Non ne sono sicuro, ma la mia impressione è che spesso questi risultati in qualche modo "nascondono gli asintotici sotto il cofano", quindi non è tanto una riduzione dalla soglia alla finezza quanto è un nuovo linguaggio matematico in cui "falso" nel la nuova lingua corrisponde a "senza prove brevi" nella vecchia lingua. Questo non vuol dire che la nuova lingua non fornisca un nuovo punto di vista utile, ma non sono sicuro che sia quello che stai cercando.

I campi della complessità descrittiva e della complessità implicita potrebbero essere considerati come adottando questo tipo di approccio. Entrambi trasformano un vincolo di risorse (come o ) in espressibilità del problema in un formalismo logico (per complessità descrittiva) o in un linguaggio di programmazione specifico (per complessità implicita).$P$$NP$

Quindi non è di per sé correlato al calcolo infinito, ma piuttosto all'espressività del problema in un dato modello. Tuttavia è vicino nel senso che trasforma un problema quantitativo in uno qualitativo.