Ampiezza di grafici cubici casuali

Considera un grafico cubico casuale collegato divertici, disegnati da -reg (come definito qui , ovvero è pari e due grafici qualsiasi hanno la stessa probabilità). $G=(V,E)$ $n =|V|$ $G(n, 3$ $)$ $3n$

Naturalmente ci sono possibili Larghezza Prima Ricerche, uno per ciascun nodo di partenza . Una ricerca in ampiezza partendo nodo assegna un livello per ogni nodo , dove è la distanza tra e in . $n$ $s \in V$ $B_G$ $s \in V$ $d(s, v)$ $v \in V$ $d(s, v)$ $s$ $v$ $G$

Diciamo che tale prima ricerca assegna anche un livello a ciascun bordo . $B_G$

L (S, {u, v}) = max {d (S, u), d (S, v)}

$L(s, \{u,v\}) = \max\{ d(s,u), d(s,v) \}$

e = {u, v} \in E

$e=\{u,v\} \in E$

Data una specifica prima ricerca $B_G$ , sia $\alpha(B_G,i)$ il numero di bordi a cui è stato assegnato il livello $i$ , e sia $\alpha(B_G) = max_i\{\alpha(B_G,i)\}$ . In altre parole $\alpha(B_G)$ è il numero di spigoli del livello contenente più spigoli rispetto a qualsiasi altro livello. Infine, lasciate $\alpha(G)$ sia al massimo $\alpha(B_G)$ per qualsiasi $n$ Larghezza Primi Ricerche di $G$ .

Chiamiamo $\alpha(G)$ l' ampiezza di $G$ .

Domanda

Come cresce il valore atteso di $\alpha(G)$ mentre $n$ tende all'infinito? Ricorda che $G$ è cubico casuale . Più precisamente, ciò che vorrei davvero sapere è se il valore atteso di $\alpha(G)$ appartiene a $o(n)$ .

Dal momento che $n$ è pari, il limite è considerato in modo che non mi importi di dispari $n$ .

graph-theory co.combinatorics

— Giorgio Camerani
fonte

(1) Specificare da quale distribuzione di probabilità si disegna il grafico cubico. (2) Sei interessato alle aspettative di in funzione di o qualcos'altro? (3) Suppongo che sia pari (altrimenti non esiste un grafico cubico). Quindi, suppongo che il limite è considerato in modo che non si cura per odd s'.

α (G)

$\alpha(G)$

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— Yoshio Okamoto,

@YoshioOkamoto: (1) Da -reg come definito in stanford.edu/class/msande337/notes/… ( è pari e ogni due grafici hanno la stessa probabilità). (2) Ho arricchito la domanda per chiarire questo punto. (3) Si, è pari e il limite è considerato in modo che non mi interessa di dispari s'.

G (n, 3

$G(n, 3$

)

$)$

3 n

$3n$

n

$n$

n

$n$

— Giorgio Camerani,

@SureshVenkat: Grazie per aver migliorato la leggibilità della domanda ;-)

— Giorgio Camerani,

Lasciatemi dire che è abbastanza probabile che ci siano risultati di concentrazione per su grafici cubici casuali, il che significa che il valore atteso, l'alto valore di probabilità e così via, sono tutti uguali. A meno che il PO non chiarisca, penso che una risposta a una qualsiasi di queste domande sarebbe una risposta ragionevole per questa domanda.

α (G)

$\alpha(G)$

— Peter Shor,

@WalterBishop: Fammi fare un'altra domanda. Come si definisce se è disconnesso?

α (G)

$\alpha(G)$

G

$G$

— Yoshio Okamoto,

Risposte:

L'ampiezza per i grafici di espansione. Un grafico casuale a 3 regolari è quasi sicuramente asintoticamente un grafico di espansione (vedi Wikipedia) , quindi l'aspettativa dell'ampiezza sarà , poiché la probabilità che non sia un grafico di espansione va a mentre va a . $\alpha(n) = \Theta(n)$ $\Theta(n)$ $0$ $n$ $\infty$

Per un grafico di espansione con il parametro , per qualsiasi set di vertici con , ci sono vicini dell'insieme. Ora, lascia che il numero di vertici al livello sia , con . Quindi abbiamo dalla proprietà di espansione che fintanto che non è troppo grande (cioè non abbiamo ancora incluso metà dei vertici) Ora cerca il livello . Se questo livello è elevato, ovvero $\beta$ $s$ $s \leq n/2$ $\beta s$ $j$ $\ell_j$ $\ell_0=1$ $j$

ℓ_{j} \geq β \sum_{i = 0}^{j - 1} ℓ_{i}

$\ell_j \geq \beta\, \sum_{i=0}^{j-1} \ell_{i}$

ℓ_{j}

$\ell_j$ che contiene il vertice . Cioè, quindi e

\frac{n}{3}

$\frac{n}{3}$

\sum_{i = 0}^{j - 1} ℓ_{i} < n / 3

$\sum_{i=0}^{j-1} \ell_i < n/3$

\sum_{i = 0}^{j} ℓ_{i} \geq n / 3

$\sum_{i=0}^{j} \ell_i \geq n/3$

ℓ_{j} \geq n / 6

$\ell_j \geq n/6$ , abbiamo finito. Altrimenti, il livello successivo ha dimensioni e abbiamo chiuso.

ℓ_{j + 1} \geq β \sum_{i = 0}^{j} ℓ_{i} \geq β \frac{n}{3},

$\ell_{j+1} \geq \beta \, \sum_{i=0}^{j} \ell_{i} \geq \beta \frac{n}{3},$

Mentre questa prova esamina il numero di vertici in un livello piuttosto che il numero di spigoli (di cui l'OP ha chiesto), ci sono sempre almeno tanti spigoli aggiunti nel passaggio come vertici nel livello , poiché ogni vertice deve essere raggiunto di qualche vantaggio. $i$ $i$

— Peter Shor
fonte

Grazie per la tua risposta! Questo è molto sorprendente (almeno per me): anche se il numero totale di spigoli è

e il numero di livelli è

, il livello più affollato ha ancora

bordi. Quindi i bordi non sono distribuiti uniformemente tra i livelli: la mia intuizione (empirica, sbagliata) era che, ad eccezione di pochi livelli iniziali e pochi livelli finali, ci sarebbe dovuto essere

m = 1.5 \cdot n \in Θ (n)

$m = 1.5 \cdot n \in \Theta(n)$

Ω (l o g (n))

$\Omega(log(n))$

Θ (n)

$\Theta(n)$

Ω (l o g (n))

$\Omega(log(n))$ livelli centrali tra i quali i bordi sarebbero stati sparsi in qualche modo uniformemente.

— Giorgio Camerani,

con "empirico" vuoi dire che hai effettivamente eseguito dei test?

è di circa

per grafi random cubi, vedi ftp-sop.inria.fr/mascotte/personnel/Stephane.Perennes/Bol88.pdf

β

$\beta$

0.1845

$0.1845$

— didest

Sì, ho eseguito i test da

e ho misurato la quantità

n = 100

$n = 100$

n = 150000

$n = 150000$

. Se

è avvicinato

come

aumentata, questo avrebbe dato prova empirica che

k = \frac{α (G)}{m}

$k = \frac{\alpha(G)}{m}$

k

$k$

0

$0$

n

$n$

α (G) \in o (n)

$\alpha(G) \in o(n)$

n = 100

$n=100$

k

$k$

0.3

$0.3$

n = 150000

$n=150000$

k

$k$

0.26

$0.26$

n = 150000

$n = 150000$

— Giorgio Camerani,

Θ (n)

$\Theta(n)$

Ω (l o g (n))

$\Omega(log(n))$

O (\frac{n}{l o g (n)})

$O(\frac{n}{log(n)})$

La risposta di Peter Shor è davvero buona, ma c'è un altro modo di rispondere a questa domanda: dimostrare che la larghezza dell'albero è limitata da due volte l'ampiezza (la versione del vertice). Poiché sappiamo che gli espansori a 3 regolari hanno una larghezza lineare degli alberi, abbiamo finito.

Guarda la costruzione di una decomposizione dell'albero data un albero BFS, è la diapositiva 15 di questa presentazione: http://www.liafa.jussieu.fr/~pierref/ALADDIN/MEETING2/soto.pdf

È facile vedere che la dimensione di ogni borsa è limitata da due volte il livello più largo.

— didest
fonte

Grazie per la risposta, quella presentazione è stata molto utile.

— Giorgio Camerani,