Quanto è difficile utilizzare l'approccio GCT Mulmuley-Sohoni per mostrare separazioni di complessità * conosciute *?

In questo post per gli ospiti di Josh Grochow nel blog sulla complessità, riporta un recente seminario dedicato alla GCT che si è tenuto a Princeton a luglio. Molti dei partecipanti hanno sostenuto che dovremmo usare GCT per attaccare problemi più facili di $\mathsf{P}$ vs. $\mathsf{NP}$ al fine di costruire l'intuizione e vedere se il metodo ha potenziale.

La domanda che mi ha infastidito:

È possibile utilizzare GCT per mostrare separazioni note come o ?L ≠ P S P A C $\mathsf{P} \neq \mathsf{EXP}$$\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

Fa qualcosa come$\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

1. Non ha nemmeno senso nel contesto GCT, o
2. È assolutamente banale e poco interessante nel framework GCT, oppure
3. Portare a congetture difficili quanto vs. ?N $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Risposta breve: probabilmente no (1), sicuramente no (2), e possibilmente (3).

Questo è qualcosa a cui sto pensando da un po 'di tempo. In primo luogo, in un certo senso GCT ha davvero lo scopo di dare limiti inferiori alle funzioni di elaborazione, piuttosto che problemi di decisione. Ma la tua domanda ha un senso perfetto per le versioni di classe funzione di , P , P S P A C E e E X P .$L$$P$$PSPACE$$EXP$

In secondo luogo, provare effettivamente le versioni booleane - quelle che conosciamo e amiamo, come - è probabilmente incredibilmente difficile in un approccio GCT, dal momento che richiederebbe l'uso della teoria della rappresentazione modulare (teoria della rappresentazione su finito campi), che non è ben compreso in nessun contesto. $FP \neq FEXP$

Ma un obiettivo ragionevole potrebbe essere quella di utilizzare GCT per dimostrare un analogo algebrica di .$FP \neq FEXP$

Per arrivare alla tua domanda: credo che queste domande possano essere formulate in un contesto GCT, anche se non è immediatamente ovvio come. Più o meno, è necessaria una funzione completa per la classe e caratterizzata dalle sue simmetrie; bonus extra se la teoria della rappresentazione associata alla funzione è facile da capire, ma quest'ultima è generalmente piuttosto difficile.

Anche una volta che le domande sono state formulate in un contesto GCT, non ho idea di quanto sarà difficile usare GCT per dimostrare (analoghi algebrici di) ecc. Le congetture rappresentative-teoriche che sorgeranno in questi contesti avrà probabilmente un sapore molto simile a quelli derivanti da P vs N $FP \neq FEXP$$P$$NP$o determinante vs permanente. Si potrebbe sperare che le prove classiche di questi risultati di separazione possano dare un'idea di come trovare gli "ostacoli" teorici alla rappresentazione necessari per una prova GCT. Tuttavia, le prove delle affermazioni che menzioni sono tutti teoremi di gerarchia basati sulla diagonalizzazione, e non vedo come la diagonalizzazione ti darà davvero molta comprensione della teoria della rappresentazione associata a una funzione che è completa per (l'analogo algebrico di) , diciamo. D'altra parte, non ho ancora visto come formulare F E X P in un contesto GCT, quindi è un po 'presto per dirlo.$FEXP$$FEXP$

Infine, come ho già detto in quel post sul blog, Peter Burgisser e Christian Ikenmeyer hanno tentato di provare nuovamente il limite inferiore del moltiplicatore di matrice (che è stato dimostrato essere 7 nel 2006 da Joseph Landsberg). Sono stati in grado di dimostrare che il livello del confine è almeno 6 mediante una ricerca al computer di ostacoli GCT. Aggiornamento aprile 2013 : da allora sono riusciti a provare nuovamente il risultato di Landsberg usando un'ostruzione GCT e a mostrare un 3 asintotico$2 \times 2$limite inferiore sulla moltiplicazione della matrice$\frac{3}{2}n^2 - 2$usando tali ostacoli. Sebbene GCT non abbia finora riprodotto il limite inferiore noto sulla moltiplicazione della matrice, consente una ricerca al computer più efficiente dell'alternativa (che coinvolgerebbe le basi di Grobner, che sono tempi doppiamente esponenziali nel peggiore dei casi). Nei loro discorsi durante il seminario, sia Peter che Christian hanno sottolineato (correttamente, direi) che ciò che speriamo davvero di ottenere dal calcolo di piccoli esempi non è la dimostrazione di limiti inferiori noti, ma alcuneintuizioniche ci permetteranno di usare questi tecniche per dimostrarenuovilimiti inferiori.

La cosa bella di GCT nel contesto della moltiplicazione di matrici è che la tecnica si generalizza facilmente dalla moltiplicazione di matrici da a 3 × 3 (sebbene il calcolo degli ostacoli con le tecniche attuali diventi ovviamente più costoso), mentre l'approccio di Landsberg sembra molto difficile da implementare anche per il caso 3 × 3 . Una cosa simile si potrebbe dire delle separazioni delle classi di complessità che menzioni: GCT è abbastanza generale da poter essere applicato non solo a risultati noti come F P ≠ F E X P , ma anche a quelli sconosciuti come P $2 \times 2$$3 \times 3$$3 \times 3$$FP \neq FEXP$ , mentre sappiamo che la diagonalizzazione no.$P \neq NP$

C'è un nuovo articolo su arXiv di Joshua Grochow , che mostra come inserire diverse tecniche note con limiti inferiori nel framework GCT e sembra rispondere in qualche modo alla tua domanda.

(Questo è principalmente solo un commento, ma nessuno noterebbe un commento, quindi lo sto postando come risposta.)

Unificazione e generalizzazione dei limiti inferiori noti tramite la teoria della complessità geometrica

Joshua A. Grochow

$AC^0[p]$per cui si tratta di una naturale unificazione e ampia generalizzazione di risultati noti. Mostra anche che il framework di GCT è potente almeno quanto i metodi noti e fornisce molte nuove prove del concetto che GCT può effettivamente fornire significativi limiti inferiori asintotici. Questo nuovo punto di vista apre anche la possibilità di interazioni bidirezionali fruttuose tra i risultati precedenti e i nuovi metodi di GCT; forniamo diversi suggerimenti concreti di tali interazioni. Ad esempio, il punto di vista teorico della rappresentazione di GCT fornisce naturalmente nuove proprietà da considerare nella ricerca di nuovi limiti inferiori. Questo nuovo punto di vista apre anche la possibilità di interazioni bidirezionali fruttuose tra i risultati precedenti e i nuovi metodi di GCT; forniamo diversi suggerimenti concreti di tali interazioni. Ad esempio, il punto di vista teorico della rappresentazione di GCT fornisce naturalmente nuove proprietà da considerare nella ricerca di nuovi limiti inferiori. Questo nuovo punto di vista apre anche la possibilità di interazioni bidirezionali fruttuose tra i risultati precedenti e i nuovi metodi di GCT; forniamo diversi suggerimenti concreti di tali interazioni. Ad esempio, il punto di vista teorico della rappresentazione di GCT fornisce naturalmente nuove proprietà da considerare nella ricerca di nuovi limiti inferiori.