Risolvere esattamente la Superstring

Che cosa si sa dell'esatta complessità del più breve problema delle superstringhe? Può essere risolto più velocemente di ? Esistono algoritmi noti che risolvono le superstringhe più brevi senza ridurre a TSP?$O^*(2^n)$

UPD: sopprime i fattori polinomiali.$O^*(\cdot)$

Il problema più breve delle superstringhe è un problema la cui risposta è la stringa più breve che contiene ciascuna stringa di un determinato set di stringhe. La domanda riguarda l'estensione di ottimizzazione di un famoso problema NP-difficile Shortest Superstring (Garey e Johnson, p. 288).

Supponendo che le stringhe abbiano una lunghezza polinomiale in , quindi sì, esiste almeno un 2 n - Ω ( $n$soluzione temporale. Il motivo è la ben nota riduzione dal più breve problema comune delle superstringhe all'ATSP con pesi interi di dimensioni polinomiali, che a sua volta è possibile risolvere mediante interpolazione polinomiale se si possono contare i cicli hamiltoniani in una multigrafia diretta. Quest'ultimo problema ha un2n-Ω($2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log n})}$soluzione temporale. Björklund 2012$2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log n})}$

La riduzione da ATSP con pesi per ogni coppia di vertici u , v per hamiltoniana conteggio di ciclo è la seguente:$w_{uv}$$u,v$

Per , dove w sum è un limite superiore di tutte le somme di n pesi nell'istanza ATSP, crea un grafico G $r=1,2,\cdots,w_\mbox{sum}$$w_\mbox{sum}$$n$$G_r$ dove si sostituisce ogni peso con r w u v archi da da u a v .$w_{uv}$$r^{w_{uv}}$$u$$v$

Risolvendo il conteggio del ciclo hamiltoniano per ogni , tramite l'interpolazione polinomiale è possibile costruire un polinomio ∑ w sum l = 0 a $G_r$ con una l uguale al numero di tour TSP nel grafico originale del peso l . Quindi individuare la più piccola l in modo che una l sia diversa da zero risolve il problema.$\sum_{l=0}^{w_\mbox{sum}} a_lr^l$$a_l$$l$$l$$a_l$

Ho studiato il problema e ho trovato alcuni risultati. Shortest Common Superstring (SCS) può essere risolto nel tempo con solo spazio polinomiale ( Kohn, Gottlieb, Kohn ; Karp ; Bax, Franklin ).$2^n$

L'approssimazione più nota è (Paluch).$2\frac{11}{30}$

L'approssimazione più nota della compressione è (Paluch).$3\over4$

Se SCS può essere approssimato di un fattore sull'alfabeto binario, allora può essere approssimato di un fattore α su qualsiasi alfabeto ( Vassilevska-Williams ).$\alpha$$\alpha$

SCS non può essere approssimato con un rapporto migliore di meno che P = NP ( Karpinski, Schmied ).$1.0029$

La compressione massima non può essere approssimata con un rapporto migliore di meno che P = NP ( Karpinski, Schmied ).$1.0048$

Sarei grato per eventuali aggiunte e suggerimenti.

Ecco il problema più corto delle superstringhe: ti vengono date stringhe s 1 , ... , s n sopra un po 'di alfabeto Σ e vuoi trovare la stringa più corta su Σ che contiene ciascuna s i come una sequenza di caratteri consecutivi, cioè una sottostringa.$n$$s_1,\ldots, s_n$$\Sigma$$\Sigma$$s_i$

Quando parliamo di algoritmi esatti per il problema, trovare la lunghezza della superstring più corta equivale a trovare la massima compressione C che è la somma di tutte le sovrapposizioni di stringhe consecutive nella superstring finale, ovvero C = ∑ i | s i $L$$C$ .$C=\sum_i |s_i|-L$

Per quanto ne so, l'algoritmo esatto più veloce per le superstringhe più corte viene eseguito in ( 2 n ) dove$O^*$$2^n$ è il numero di stringhe. Questo è un semplice algoritmo di programmazione dinamica simile all'algoritmo di programmazione dinamica per il percorso più lungo (e altri problemi):$n$

Per ogni sottoinsieme di stringhe e stringa v in S calcoliamo la massima compressione su tutte le superstringhe su S dove v è la prima stringa che appare nella superstringa, memorizzandola come C (( v , S )). Lo facciamo elaborando prima tutti i sottoinsiemi con un solo elemento, quindi costruendo i valori C (( v , S )) per i sottoinsiemi S su k stringhe da quelli su $S$$v$$S$$S$$v$$v,S$$v,S$$S$$k$ stringhe. In particolare:$k-1$

Per ogni stringa osserviamo tutti i sottoinsiemi S ′ su k - 1 stringhe che non includono u e impostiamo il valore per ( u , u ∪ S ′ ) sul massimo sopra le stringhe v in S ′ della somma del massimo sovrapposizione di u con v con C (( v , S ′ )).$u$$S'$$k-1$$u$$u,{u}\cup S'$$v$$S'$$u$$v$$v,S'$

Il runtime finale non è superiore a O ( ) dove l è la lunghezza massima della stringa.$n^2 2^n + n^2 l$$l$

Esistono algoritmi migliori se si presume che sia piccola o che le sovrapposizioni a coppie siano piccole, la dimensione dell'alfabeto sia piccola ecc., Ma non sono a conoscenza di alcun algoritmo che sia più veloce di 2 n .$l$$2^n$