Voglio un gadget semplice per dimostrare il ciclo Hamiltoniano Planare NP-completo (dal ciclo Hamiltoniano)

È noto che il ciclo hamiltoniano (in breve) è completo di NP e che il ciclo di prosciutto planare è completo di NP. La prova del Ciclo di prosciutto planare non proviene dal Ciclo di prosciutto.

C'è un bel gadget che, dato un grafico G, sostituirà tutti gli incroci con alcuni gadget planari in modo da avere un grafico planare G 'tale che

G ha un ciclo di prosciutto se G 'ha un ciclo di prosciutto.

(Sarò felice con varianti come il percorso del prosciutto o il ciclo del prosciutto diretto o il percorso del prosciutto diretto.)

— Bill GASARCH
fonte

Un'osservazione piuttosto banale. Supponiamo di incorporare e i bordi e incrociati, con appaiono in senso orario attorno al punto di incrocio. Sostituiscilo con un gadget che ha quattro punti di ingresso corrispondenti a . Se un ciclo hamiltoniano in utilizza entrambi i bordi e in il ciclo corrispondente dovrebbe autoincrociarsi. Questo ovviamente presuppone l'interpretazione più ingenua di cosa sia un `` gadget "e anche che il ciclo hamiltoniano in

G

$G$

(x, y)

$(x,y)$

(u, v)

$(u,v)$

x, v, y, u

$x,v,y,u$

P_{x v y u}

$P_{xvyu}$

x^{'}, v^{'}, y^{'}, u^{'}

$x',v',y',u'$

x, v, y, u

$x,v,y,u$

G

$G$

(x, y)

$(x,y)$

(u, v)

$(u,v)$

G^{'}

$G'$

G^{'}

$G'$ deve seguire gli stessi bordi come il ciclo corrispondente .

G

$G$

— Marek Chrobak,

Che cos'è il ciclo del prosciutto? Per favore, non dare per scontato che tutti capiscano le tue abbreviazioni.

— Tsuyoshi Ito,

@MarekChrobak: sono d'accordo con la tua osservazione. Dai due modi per sfuggire alla tua discussione. Penso che il più naturale sia il secondo: esiste un ciclo hamiltoniano da in se esiste un ciclo hamiltoniano da .

x \to y \to \dots \to u \to v \to \dots \to x

$x\to y\to\dotsb\to u\to v\to\dotsb\to x$

G

$G$

x \to x^{'} \to \dots \to u^{'} \to u \to \dots \to y \to y^{'} \to \dots \to v^{'} \to v \to \dots \to x

$x\to x'\to\dotsb \to u'\to u\to\dotsb\to y\to y'\to\dotsb\to v'\to v\to\dotsb\to x$

— Bruno,

@Tsuyoshi: significa ciclo hamiltoniano. Penso che sia ragionevole presumere che tutti possano capirlo.

— domotorp,

@Bill: mi chiedo perché pensi che dovrebbe esistere un simile gadget. Il numero di incroci quando si incorpora un grafico arbitrario nel piano può essere molto grande ( per il grafico completo - vedere il lemma di attraversamento). Quindi, se inizi con un grafico con bordi e molti bordi (diciamo vicino al quadratico), allora il grafico incorporato con gli incroci aggiunti come vertici ha una struttura completamente diversa ...

Θ (n^{4})

$\Theta(n^4)$

n

$n$

— Sariel Har-Peled,

No. Almeno, nessun gadget "carino" per un crossover.

Sia e una croce che vogliamo sostituire. $(a, b)$ $(x,y)$ inserisci qui la descrizione dell'immagine

Ci sono molti casi per il nostro grafico, , ma dobbiamo soddisfare almeno i seguenti quattro. Caso 1: esiste almeno un ciclo hamiltoniano, ma nessuno usa nessuno dei bordi. Caso 2: esiste almeno un ciclo e tutti i cicli usano esattamente uno dei due bordi. Caso 3: esiste almeno un ciclo e tutti i cicli utilizzano entrambi i bordi. Caso 4: non esiste un ciclo hamiltoniano. $G$

Se il nostro gadget ha due (o più) vertici di ciascuno di adiacente a tutti gli stessi vicini (in modo che e mantenere 's vicini) allora non sarà necessariamente ancora planare. Al fine di soddisfare il primo dei nostri casi precedenti, non possiamo quindi avere nuovi vertici nel gadget. $a, b, x, y$ $a_0$ $a_1$ $a$ $G'$

Per soddisfare il caso 3 sopra, dobbiamo avere almeno due bordi nel gadget. Né la coppia planare e di copertura, né soddisfano il caso 2, quindi abbiamo bisogno di un terzo bordo. Senza perdita di generalità, lascia che quei tre siano . $(a, x), (y, b)$ $(a, y), (x, b)$ $(a, y), (y, b), (x,b)$

Comunque, quella sostituzione rompe il quarto caso, perché potrebbe contenere un ciclo hamiltoniano quando non lo fa. Prendi, ad esempio, dove ed . non è planare e non ha un ciclo hamiltoniano. $G'$ $G$ $G = (V, E)$ $V = \{a, b, x, y, p, q, r, s, t\},$ $E = \{(a, b), (x, y), (a, r), (a, p), (a, q), (b, s), (b, x), (p, s), (p, t), (p, y), (q, x), (r, y), (t, x)\}$ $G$ inserisci qui la descrizione dell'immagine

Quindi dove . è planare e ha un ciclo hamiltoniano ( ). $G' = (V, E')$ $E' = \{(a, y), (y, b), (x, b)\} \cup$ $\{(x, y), (a, r), (a, p), (a, q), (b, s), (p, s), (p, t), (p, y), (q, x), (r, y), (t, x)\}$ $G'$ $a, q, x, t, p, s, b, y, r, a$

Nota che se fosse il bordo non aggiunto invece di , allora non avrebbe un ciclo hamiltoniano. Sembra però che dovresti conoscere il possibile ciclo per scegliere correttamente il bordo. $(b, y)$ $(a, x)$ $G'$

Un problema simile esiste per avere il gadget che include uno dei bordi diagonali, come ad esempio: . $(a, b), (a, y), (x, b)$

Poiché l'aggiunta di tre bordi interrompe il caso 4, l'aggiunta di più non sarà di aiuto.

Pertanto, non esiste alcun gadget "carino". Potrebbe essere che esiste un gadget che paga più attenzione ai vicini di ciascuno di ed , ma che non sembra molto "bello". $a, b, x$ $y$

(Nota: per favore fatemi sapere se ho commesso degli errori sopra!)

( ~~Nota 2: ho avuto delle belle figure, ma non posso pubblicarle.~~ Inserito.)

— Kyle
fonte

Penso che dovresti essere in grado di pubblicare cifre ora.

— Jukka Suomela,